Han publicado lo que parece ser una demostración revolucionaria de la conjetura ABC.
La aplicabilidad de la ciencia es muy variada. Así, si nos fijamos en la Biología comprobaremos que la mayoría de sus preceptos sólo son aplicables a la vida terrestre, aunque supongamos que otros pueden ser compartidos con otros tipos de vida hipotética en otros lugares del Universo. Digamos que la Biología no es universal. La Geología tiene mayor aplicabilidad fuera de la Tierra, pero a falta de información externa, sabemos más sobre nuestro planeta que sobre otros. Sin embargo, la Química o la Física son universales y sus leyes son aplicables a cualquier punto del Universo.
Pero las Matemáticas son un caso especial, pues no sólo tienen aplicabilidad en este universo, sino en cualquier otro posible, incluso sobre entes que no tengan existencia real.
La libertad de crear Matemáticas es total, pues sólo es necesaria la autoconsistencia. Es un sistema axiomático formal. Es decir, si tenemos las capacidades suficientes, podemos demostrar enunciados (teoremas) a partir de unos axiomas que admitimos como verdaderos.
El primer paso suele consistir en asumir que cierto resultado es verdadero, aunque no sea un axioma. Nuestro instinto nos dice que ese resultado se tiene que derivar de los demás. A ese enunciado se le denomina conjetura. Algunas conjeturas tienen una vida tan corta que no salen del despacho del matemático de turno y son refutadas o demostradas enseguida. Otras conjeturas son tan difíciles de demostrar (o refutar) que toda la comunidad de matemáticos tarda años o siglos en transformarlas en teoremas. Un ejemplo clásico de esto es el último teorema de Fermat.
Pues bien, la última conjetura importante en ser demostrada es la conjetura ABC, que ha necesitado de 25 años. La demostración la ha realizado Shinichi Mochizuki, de la Universidad de Kioto.
Este resultado se encuadra dentro de la teoría de números y nos permite echar un vistazo a la conexión íntima entre suma y multiplicación.
Posiblemente el resultado permita abrir un nuevo universo de posibilidades dentro de las Matemáticas. El hallazgo es comparable a la demostración del último teorema de Fermat realizada por Andrew Wiles en 1993 o de la demostración de conjetura de Poincaré por parte de Grigory Perelman hace escasos años. Al igual que estos dos matemáticos, Mochizuki tiene una reputación que le precede, reputación que a priori no hace dudar de la validez del trabajo.
La conjetura, propuesta en los años ochenta por Joseph Oesterlé y David Masser, impone limitaciones sobre la interacciones entre la descomposición de los números a, b y c de la ecuación: a+b=c.
Así por ejemplo, si tomamos la expresión 81 + 64 = 145, ésta puede ser descompuesta en 3 × 3 × 3 × 3 + 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 5 × 29. La conjetura dice (dejaremos de lado la expresión formal de la misma [1]) que hay un número mayor de primos pequeños en el lado izquierdo de la ecuación, cuyo valor total está siempre compensado por una pequeña cantidad de primos grandes en el lado derecho de la misma y vice versa. Otro ejemplo válido puede ser este: 1024 + 81 = 1105 = 5 x 13 x 17.
Los rumores sobre esta demostración se extendieron por la red hasta que hace unos días se publicaron una serie de artículos sobre ello. La demostración completa comprende unas 500 páginas y debe ser todavía revisada por la comunidad internacional. Los matemáticos están excitados por la demostración y lo comparan en importancia con el descubriendo del Higgs. “Te sientes un poco como si estuvieras leyendo un artículo del futuro o del espacio exterior”, dice Jordan Ellenberg (University of Wisconsin-Madison).
Se necesitará un tiempo hasta que los matemáticos tengan una idea clara de los hallazgos de Mochizuki, pues este matemático ha desarrollado toda una nueva teoría para atacar el problema basada en la Geometría no Abeliana.
Según Minhyong Kim (University of Oxford) la demostración de Mochizuki es extraña incluso para la mayoría de los matemáticos, porque se adentra en cuestiones profundas sobre los fundamentos de las Matemáticas, como qué queremos decir cuando decimos “número”. A principios del siglo veinte hubo una crisis cuando los matemáticos se dieron cuenta de que no tenían una manera formal de definir un número. Podemos hablar de “tres manzanas” o “tres naranjas”, pero nadie podía decir qué es exactamente el objeto matemático denominado “tres”. Al final se usó la teoría de conjuntos para ello, empezando por el cero y por el conjunto vacío que no contienen ningún objeto. A partir de ahí se pueden derivar el resto de los números naturales.
Sin embargo, muchas construcciones matemáticas no caen de manera natural dentro de esta técnica que usa conjuntos. Mochizuki ha conseguido traducir ideas fundamentales de las Matemáticas a objetos que sólo existen en nuevos universos conceptuales. Esta técnica, por otra parte totalmente inesperada, ha permitido tomar objetos convencionales y reconstruirlos en estos nuevos universos matemáticos. Gracias a esto ha podido demostrar la conjetura ABC.
La ventaja es que estas nuevas técnicas y resultado pueden dar lugar a una reacción en cadena que permita abordar y resolver muchos otros problemas abiertos de las Matemáticas, pues proporciona una nueva manera de pensar sobre los números. De entrada se cree que será fácil dar con una demostración alternativa al último teorema de Fermat.
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Fuentes y referencias:
NewScientist.
Noticia en Science. [3]