NeoFronteras

Demostración de la conjetura ABC

Área: Matemáticas — lunes, 17 de septiembre de 2012

Han publicado lo que parece ser una demostración revolucionaria de la conjetura ABC.

La aplicabilidad de la ciencia es muy variada. Así, si nos fijamos en la Biología comprobaremos que la mayoría de sus preceptos sólo son aplicables a la vida terrestre, aunque supongamos que otros pueden ser compartidos con otros tipos de vida hipotética en otros lugares del Universo. Digamos que la Biología no es universal. La Geología tiene mayor aplicabilidad fuera de la Tierra, pero a falta de información externa, sabemos más sobre nuestro planeta que sobre otros. Sin embargo, la Química o la Física son universales y sus leyes son aplicables a cualquier punto del Universo.
Pero las Matemáticas son un caso especial, pues no sólo tienen aplicabilidad en este universo, sino en cualquier otro posible, incluso sobre entes que no tengan existencia real.
La libertad de crear Matemáticas es total, pues sólo es necesaria la autoconsistencia. Es un sistema axiomático formal. Es decir, si tenemos las capacidades suficientes, podemos demostrar enunciados (teoremas) a partir de unos axiomas que admitimos como verdaderos.
El primer paso suele consistir en asumir que cierto resultado es verdadero, aunque no sea un axioma. Nuestro instinto nos dice que ese resultado se tiene que derivar de los demás. A ese enunciado se le denomina conjetura. Algunas conjeturas tienen una vida tan corta que no salen del despacho del matemático de turno y son refutadas o demostradas enseguida. Otras conjeturas son tan difíciles de demostrar (o refutar) que toda la comunidad de matemáticos tarda años o siglos en transformarlas en teoremas. Un ejemplo clásico de esto es el último teorema de Fermat.
Pues bien, la última conjetura importante en ser demostrada es la conjetura ABC, que ha necesitado de 25 años. La demostración la ha realizado Shinichi Mochizuki, de la Universidad de Kioto.
Este resultado se encuadra dentro de la teoría de números y nos permite echar un vistazo a la conexión íntima entre suma y multiplicación.
Posiblemente el resultado permita abrir un nuevo universo de posibilidades dentro de las Matemáticas. El hallazgo es comparable a la demostración del último teorema de Fermat realizada por Andrew Wiles en 1993 o de la demostración de conjetura de Poincaré por parte de Grigory Perelman hace escasos años. Al igual que estos dos matemáticos, Mochizuki tiene una reputación que le precede, reputación que a priori no hace dudar de la validez del trabajo.
La conjetura, propuesta en los años ochenta por Joseph Oesterlé y David Masser, impone limitaciones sobre la interacciones entre la descomposición de los números a, b y c de la ecuación: a+b=c.
Así por ejemplo, si tomamos la expresión 81 + 64 = 145, ésta puede ser descompuesta en 3 × 3 × 3 × 3 + 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 5 × 29. La conjetura dice (dejaremos de lado la expresión formal de la misma ) que hay un número mayor de primos pequeños en el lado izquierdo de la ecuación, cuyo valor total está siempre compensado por una pequeña cantidad de primos grandes en el lado derecho de la misma y vice versa. Otro ejemplo válido puede ser este: 1024 + 81 = 1105 = 5 x 13 x 17.
Los rumores sobre esta demostración se extendieron por la red hasta que hace unos días se publicaron una serie de artículos sobre ello. La demostración completa comprende unas 500 páginas y debe ser todavía revisada por la comunidad internacional. Los matemáticos están excitados por la demostración y lo comparan en importancia con el descubriendo del Higgs. “Te sientes un poco como si estuvieras leyendo un artículo del futuro o del espacio exterior”, dice Jordan Ellenberg (University of Wisconsin-Madison).
Se necesitará un tiempo hasta que los matemáticos tengan una idea clara de los hallazgos de Mochizuki, pues este matemático ha desarrollado toda una nueva teoría para atacar el problema basada en la Geometría no Abeliana.
Según Minhyong Kim (University of Oxford) la demostración de Mochizuki es extraña incluso para la mayoría de los matemáticos, porque se adentra en cuestiones profundas sobre los fundamentos de las Matemáticas, como qué queremos decir cuando decimos “número”. A principios del siglo veinte hubo una crisis cuando los matemáticos se dieron cuenta de que no tenían una manera formal de definir un número. Podemos hablar de “tres manzanas” o “tres naranjas”, pero nadie podía decir qué es exactamente el objeto matemático denominado “tres”. Al final se usó la teoría de conjuntos para ello, empezando por el cero y por el conjunto vacío que no contienen ningún objeto. A partir de ahí se pueden derivar el resto de los números naturales.
Sin embargo, muchas construcciones matemáticas no caen de manera natural dentro de esta técnica que usa conjuntos. Mochizuki ha conseguido traducir ideas fundamentales de las Matemáticas a objetos que sólo existen en nuevos universos conceptuales. Esta técnica, por otra parte totalmente inesperada, ha permitido tomar objetos convencionales y reconstruirlos en estos nuevos universos matemáticos. Gracias a esto ha podido demostrar la conjetura ABC.
La ventaja es que estas nuevas técnicas y resultado pueden dar lugar a una reacción en cadena que permita abordar y resolver muchos otros problemas abiertos de las Matemáticas, pues proporciona una nueva manera de pensar sobre los números. De entrada se cree que será fácil dar con una demostración alternativa al último teorema de Fermat.

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Fuentes y referencias:
NewScientist.
Noticia en Science.

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13 Comentarios

  1. lluís:

    Por ejemplo, quizás se podría demostrar la Conjetura de Goldbach, en la cual la dificultad podría hallarse en que los números primos surgen del concepto de multiplicación, pero se les invoca también en el contexto de la suma.Por cierto, la conjetura de Goldbach dice que todo número natural par, mayor que dos, es la suma de dos primos.

  2. NeoFronteras:

    Pues sí, estimado Lluís. La conjetura de Goldbach viene a la mente enseguida. De hecho se viene especulando con su demostración desde hace tiempo, esperemos que este nuevo resultado lo facilite.

  3. r:

    ¡Qué bello trabajo! Con toda razón la matemática ha sido llamada “la reina de las ciencias”. Supongo que algunos estancamientos en la física y otros campos de la ciencia se deben a que muy pocos (bueno la verdad nadie) entiende la matemática actual, por lo tanto si la matemática no se comprende será muy difícil que el conocimiento siga avanzando en lugar de estancarse.

  4. tomás:

    Estimado “r”: Eso de “bueno la verdad nadie” no puede ser cierto porque, al menos, ha de ser entendido por su creador. Y a éste no le queda más remedio que transmitirla a sus pares que le dan o no el “visto bueno”. Pero es la ciencia menos divulgada, y hasta la divulgación de otras ha de evitarla. Sin embargo los libros actuales son muy atractivos.
    Un cordial saludo.

  5. lluís:

    No es fácil divulgar la matemática, pero últimamente han empezado a publicarse libros divulgativos (con apéndices en los que suelen anotarse las auténticas operaciones matemáticas para lectores con conocimientos matemáticos o lectores avanzados en ese campo)que incluso son muy amenos.

    Generalmente los más entretenidos tienen mucho que ver con los juegos (ya de cartas, loterias, apuestas tipo “loto”,quinielas, póker,carreras de caballos con sus correspondientes apuestas, etc.).Recuerdo uno especialmente entretenido, del conocido matemático John Haigh ” Taking chances,winning with probability”.

    En cuanto a las Matemáticas, todavia se está estudiando sobre sus propios fundamentos.

    Saludos.

  6. Juan Manuel:

    Pues, hasta se han ofrecido premios de 1 millon de dólares a quien demuestre una sola de varias conjeturas que estan pendientes de demostrar.
    Me llama la atención la siguiente conjetura porque ha desafiado el paso del tiempo y a la que no pocos matemáticos le han hecho frente.

    Conjetura de los números primos gemelos (sin demostrar)
    A saber fue planteada en (300 a.c.)

    Dice así:
    Existe un número infinito de primos p tales que p + 2 también es primo.

  7. r:

    Quizá tomas su creador la entiende hasta cierto grado pero no completamente,aún hoy están debatiendo asuntos que parecen no muy complicados tales como si los números, los puntos y otros objetos matemáticos existen en la realidad o si provienen de la imaginación del hombre y al final es como si la matemática estuviese rodeada de un velo de misterio (por el momento).

    Expresiones como “cuando las leyes de la matemática se refieren a la realidad, no son exactas; cuando son exactas, no se refieren a la realidad” por cierto de Einstein, o la de Feymann “La Matemática no es real, pero «parece real». ¿Dónde está ese lugar?” me hace pensar que quizá los físicos (por ejemplo) no han logrado resolver los problemas más importantes en su campo porque no comprenden la matemática tan compleja con la que están tratando.

    Saludo

  8. tomás:

    Querido maigo “r”: Es que, en efecto,la matemática no es un reflejo de la realidad. Yo creo que su mejor definición es que se trata de un lenguaje. Evidentemente el punto no existe,pero tiene mucho que ver con las más diminutas partes de la naturaleza. Ya dice el artículo en su segundo párrafo: “La libertad de crear matemáticas es total…” y, de hecho, crea entes imposibles. Pero con el lenguaje sucede algo parecido. Decimos “mesa” y tiene unos cuantos significados en uno de los múltiples idiomas pero, según el contexto sabemos a qué nos referimos. Lo que sucede es que las matemáticas son muy variadas y casi podríamos decir que son muchos idiomas, porque algunas ramas nada tienen que ver con otras.
    Un abrazo.

  9. r:

    Sí tienes razón, más que un reflejo de la realidad las matemáticas son una especie de lenguaje universal y hasta más, porque ella es capaz de llegar hasta las partes más profundas del universo donde ni siquiera la imaginación del ser humano puede alcanzar. Y aunque Lagrange pensaba que un matemático no llegaba a comprender totalmente su obra hasta que un día se la podía explicar sin dificultad alguna al primer hombre que encontrara en la calle, sigo pensando que dado que nuestra comprensión de las cosas es limitada por naturaleza nadie puede esperar a comprender completamente un lenguaje que es practicamente “infinito”.

  10. tomás:

    Y, a mi entender,Lagrange tenía razón. Hay una canción por ahí que canta una muchacha diciendo “antes muerta que sencilla”. Habría que invertirla para que las matemáticas resultasen sencillas. Algo así como “antes vulgar que elitista”. Creo que la educación matemática requeriría una especialización docente con mucha carga didáctica. Si alguien fuera capaz de decir “e una ecuasió cuadrá” pero supiera resolverla y comprendiera por qué tiene dos soluciones y que en algún caso son admisibles las dos y otras veces sólo una porque hay que escoger a qué se aplica, es decir que lo entendiera en la profundidad de su aplicación a las ciencias de la naturaleza, eso sería lo ideal,porque la frase, aun mal dicha,la entendemos todos.
    Cuando Gauss medía si la suma de los ángulos de un triángulo eran 180º y lo hacía entre los picos de tres montañas como vértices, no podía saber que, en realidad, estaba midiendo si la luz se propagaba en línea recta y no era atraída por la masa de la Tierra. Pero sus instrumentos -y creo que tampoco loa actuales- no eran capaces de medir esa curvatura que haría que la suma fuese menor, así que dedujo lo que concordaba con sus medidas. Es una de tantas ironías de la razón más exquisita.
    Bien, un abrazo, que me salgo del tema.

  11. NeoFronteras:

    Todo conocimiento o disciplina puede ser divulgado o explicado mejor. Pero las razones por las que las Matemáticas son “difíciles” para el gran público son las siguientes:

    – No se puede esperar entender un área dada si no se han asimilado los conocimientos más básicos sobre los que se asienta. No hay atajos.

    – Requieren un esfuerzo y un tiempo que la gente no está dispuesta a realizar.

    – Hay una animadversión que el estudiante ya “mama” en primaria y que pasa de generación en generación.

    A veces las cosas son así de simples.

  12. tomás:

    Estimado Neo: La frase en que citas una versión de la clásica: “no hay caminos reales…”, parece cierta pero, mucho se ha avanzado en ese sentido con la normalización de los signos. Debió ser muy difícil estudiar geometría o matemáticas en tiempos de Euclides en los que cada cual utilizaba signos propios y tan largos que lo que ahora es una expresión a·b debió ser “a tantas veces b”, supongo. Como digo en anterior comentario también los libros son mucho más atractivos que los de mi época. Pero sigue siendo cierto que hay que recorrer los caminos previos. También estoy de acuerdo con tu segunda opinión.
    Sin embargo, la tercera tiene un origen que puede mejorarse. Hemos visto cómo ha degenerado la educación de modo que la historia se cambia y eso es bastante fácil, pero también se cambia la geografía y a tal cosa hay que echarle cara dura, Y sin embargo “cuela”. Eso quiere decir que la mente es muy maleable y que si el sistema educativo se lo propone, puede hacer atractivas las matemáticas y la geometría.
    Otra cuestión es que hace falta un cierto nivel de abstracción del que no todo el mundo es capaz, además del tiempo y el trabajo que mencionas.
    No cerremos puertas, estimado Neo. Ya sé que tú no lo haces; esta página es la prueba de ello. Puede ayudarse a la gente pero una buenísima política educativa es imprescindible.
    Un fuerte abrazo.

  13. NeoFronteras:

    Estimado Tomás:
    Es que el sistema educativo en España está podrido. Un gobierno tras otro lo han utilizado como sistema de adoctrinamiento político y de fábrica de ignorantes. Están los supuestos psicopedagogos (deben de ser muy distintos a los de Finlandia) con sus extrañas teorías, los tratados de progresía, el lavado cerebral bajo los dictados de la religión… eso por no hablar de los nacionalismos o la mafia de las editoriales.
    Antes se medio salvaba la universidad y ya con el grado boloñés y las altas tasas se ha convertido en otra basura.
    La cultura del mercado lo impregna todo de tal modo que las decisiones vienen determinadas por ello. Si el cliente quiere un aprobado fácil lo tendrá.
    A la universidad entran personas que no saben escribir o sin saber lo que es una potencia o una exponencial. La pena es que tampoco salen muy bien de ella y serán la siguiente generación de maestros y profesores.

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