NeoFronteras

Dos resultados sobre números primos nos acercan a la demostración de conjeturas famosas.

La función Π contabiliza los primos:.

Todos aprendimos de pequeños que los números primos son aquellos que sólo son divisibles por ellos mismos y por la unidad. Además, según el convenio acordado por los matemáticos, el 1 no es primo. Además sabemos desde la Grecia clásica que hay infinitos números primos.
Hay muchos aspectos interesantes en el tema de los números primos. Uno de ellos es que son los números fundamentales, pues cualquier otro número se puede generar a partir del producto de un conjunto de números primos. También es complicado generar números primos muy grandes, entre otras cosas porque, según avanzamos a lo largo de la secuencia de números enteros, los primos son cada vez más escasos y dispersos. (leer más…)

Descubren el primo de Mersenne más grande hasta la fecha y, por tanto, mayor primo conocido. Hace el número 48 de este tipo de números primos.

El proyecto Great Internet Mersenne Prime Search (GIMPS) ha anunciado el descubrimiento del primo de Mersenne número 48. El método empleado es el de la computación distribuida en la que muchos voluntarios permiten el uso de CPU de sus máquinas. No es la primera vez que se descubre un número primo de este tipo con este método por esta misma organización.
Los números de Mersenne son del tipo M_n = 2ⁿ – 1 siendo los primeros 1, 3, 7, 15, 31, 63, 127, … Los primos de Mersenne tienen un origen curioso y están relacionados con los llamados números perfectos. Euclides en el año 350 antes de nuestra era estudió este tipo de números. Toman el nombre de Marin Mersenne (1588-1648), monje y matemático originario de Francia, quien propuso una conjetura para los valores que tendría que tener el exponente “n” para que el resultado fuera primo. (leer más…)

Han publicado lo que parece ser una demostración revolucionaria de la conjetura ABC.

La aplicabilidad de la ciencia es muy variada. Así, si nos fijamos en la Biología comprobaremos que la mayoría de sus preceptos sólo son aplicables a la vida terrestre, aunque supongamos que otros pueden ser compartidos con otros tipos de vida hipotética en otros lugares del Universo. Digamos que la Biología no es universal. La Geología tiene mayor aplicabilidad fuera de la Tierra, pero a falta de información externa, sabemos más sobre nuestro planeta que sobre otros. Sin embargo, la Química o la Física son universales y sus leyes son aplicables a cualquier punto del Universo. (leer más…)

Descubren una nueva estrategia ganadora egoísta en el juego del dilema del prisionero iterado, pero ésta no es evolutivamente estable.

Fuente: Wikimedia Commons.

El dilema del prisionero se descubrió durante la guerra fría en RAND, un think tank creado en un principio por las fuerzas armadas norteamericanas y que todavía existe.
El dilema del prisionero se estudió a la luz de la teoría de juegos, una disciplina desarrollada por Von Neumann y mejorada por John F. Nash (sí, el de la película “Una mente maravillosa”). La teoría de juegos trata de proponer las mejores estrategias de cara a ciertas situaciones o conflictos y trata de explica los sistemas organizativos en la cooperación.
Así por ejemplo, con la teoría de juegos se puede explicar por qué el personaje de James Deen hace bien en desertar en el juego de “Gallina” y no estrellarse junto con el auto que conducía, aunque en la vida real muriera en un accidente de tráfico. También explica por qué nos colamos en el metro, seguimos en un matrimonio fracasado y por qué es mejor seguir en el puesto de caza de venados en lugar de disparar al primer conejo que aparece. Incluso algunos han aplicado la teoría de juegos con cierto éxito para ganar al póquer Texas holdem. (leer más…)

Consiguen mejorar aún más la transformada rápida de Fouier. La nueva versión se mucho más rápida.

No somos conscientes del gran impacto que tiene las Matemáticas en la vida cotidiana. Son odiadas por muchos e ignoradas por otros y, sin embargo, conforman el mundo moderno. Además de ser usadas por las demás ciencias se emplean directamente en muchos casos.
Un resultado de un abogado francés del siglo XVII (el pequeño teorema de Fermat) es el que ahora nos permite conectarnos de manera segura con nuestro banco. Un concepto como el de autovector usando en Álgebra es el que, en el corazón de Google, nos permite encontrar lo que buscamos en Internet. Esto por citar sólo dos ejemplos. (leer más…)

Consiguen calcular 10 billones de decimales de π con una computadora casera construida para la tarea.

Computador usado para el cálculo.

Cuando al neozelandes Edmud Hillary, montañero y criador de abajes, se le preguntó por qué había escalado el Everest dijo que porque estaba ahí. Y es que la conquista de la cima más alta de la Tierra en 1953, realizada por él y un sherpa del que parece que nadie quiere acordarse, no tuvo una razón objetiva. A veces el ser humano simplemente ve un reto y quiere superarlo.
Calcular 10 billones de decimales de π no tiene ninguna utilidad práctica y no reportará nada nuevo a la humanidad. Con sólo 39 decimales es posible calcular la longitud de la circunferencia del Universo visible con un error no mucho mayor que el tamaño de un átomo de hidrógeno, así que semejante despropósito parece innecesario, pero el sólo hecho de conseguirlo es algo que hasta hace no tantos años era inimaginable. Si además esta hazaña se ha hecho con pocos recursos el logro parece aún más interesante. (leer más…)

Las colonias de hormigas son capaces de resolver dinámicamente, y de manera óptima, problemas como encontrar el camino más corto entre dos puntos dentro de un laberinto.

El laberinto utilizado con algunos caminos recorridos por hormigas.

Muchas de las ideas que utilizamos en ciencias de la computación han sido inspiradas por la Naturaleza. (leer más…)

Al parecer los abejorros saben resolver el problema del viajante. Una tarea difícil que en computación se cataloga como problema NP.

Abejorro en flor artificial.

El problema del viajante consiste en salir de la sede de la empresa y volver a la misma visitando todas las ciudades una sola vez por el camino más corto posible. Matemáticamente se trata de encontrar un ciclo hamiltoniano sobre un grafo en el que los vértices del grafo representan ciudades unidas por aristas (las carreteras) con un peso dado (los kilómetros o el gasto en combustible del tramo en cuestión). Básicamente, para este problema no hay un algoritmo que lo resuelva de manera eficiente y se cree que no existe. Aquí se entiende por “eficiente” el que sea resoluble en un tiempo polinómico. Es decir, que el tiempo de resolución en relación al tamaño del problema (en nuestro caso al número de vértices del grafo que representa las ciudades unidas por carreteras) crezca polinómicamente y no exponencialmente. (leer más…)

Un investigador dice haber demostrado que los problemas tipo NP no pueden ser equivalentes a problemas tipo P.

¿Ha sido resuelto uno de los grandes enigmas de la computación? ¿Es todo problema de tipo NP igual a uno de tipo P? Según un investigador la respuesta es no.
La relación entre las clases de complejidad P y NP es estudiada por la teoría de la complejidad computacional que trata de los recursos (tiempo o memoria) requeridos durante un cálculo para resolver un problema dado. En esta teoría, la clase P contiene aquellos problemas de decisión que pueden ser resueltos con una máquina determinista secuencial (un ordenador) en un período de tiempo polinómico que es proporcional a los datos de entrada. Es decir, que si aumentamos los datos de entrada, el tiempo necesario para resolverlo no crece exponencialmente, sino más ñentamente. Este tipo de problemas son problemas “fáciles” y rápidos de resolver, como ordenar alfabéticamente un conjunto de palabras. Bajo esas mismas condiciones un problema NP no puede ser resuelto en un tiempo polinómico, sino en un tiempo exponencial, aunque sí se podría resolver rápidamente si se cuenta con una máquina (conceptual) no determinista. (leer más…)

Un nuevo modelo matemático explica cómo la aparición de rasgos nuevos permite aumentar la biodiversidad de los ecosistemas.

No sabemos muy bien por qué, pero la Matemáticas suelen ser el mejor lenguaje para describir la ciencia. No es solamente por su precisión, sino porque, sorprendentemente, la Naturaleza se deja describir bien matemáticamente. Hasta hace poco eran sólo las ciencias duras, como la Física, las que estaban descritas a base de Matemáticas. Esto se debía a que los procesos físicos son muy simples, aunque a primera vista no lo parezca. Los procesos biológicos, por el contrario, son muy complejos y no se dejan describir fácilmente por las Matemáticas. Además, la Biología era poco más o menos que una especie de “Filatelia” hasta hace poco, dedicada a coleccionar especies y hechos. Encima, en los estudios universitarios sobre ciencias biológicas había una escasa formación en Matemáticas, no habiendo tradición en ese campo. (leer más…)