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Nueva plusmarca en números primos

Área: Matemáticas — jueves, 4 de enero de 2018

Descubren el primo más grande hasta la fecha: el primo de Mersenne M77232917.

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El proyecto Great Internet Mersenne Prime Search (GIMPS) anunció ayer el descubrimiento, el pasado 26 de diciembre, del primo de Mersenne número 50. El método empleado es el de la computación distribuida en la que muchos voluntarios permiten el uso de CPU de sus máquinas. Esta organización ha descubierto ya numerosos primos de este tipo con el método de computación distribuida.

Los números de Mersenne son del tipo Mn = 2n – 1 siendo los primeros: 1, 3, 7, 15, 31, 63, 127, … Si el número de Mersenne es menor o igual a 7, lo que hace de él el Mersenne número 2 para n=3, entonces es primo, pero después no es así necesariamente. Los primos de Mersenne son números de Mersenne que además son primos, es decir, divisibles sólo por ellos mismos y por la unidad.

Los primos de Mersenne tienen un origen curioso y están relacionados con los llamados números perfectos. Euclides en el año 350 antes de nuestra era estudió este tipo de números. Toman el nombre de Marin Mersenne (1588-1648), monje y matemático originario de Francia, quien propuso una conjetura para los valores que tendría que tener el exponente “n” para que el resultado fuera primo.

La definición de estos números permite saber que un número de Mersenne es una cadena de n unos cuando se escribe en binario (base 2). Así, por ejemplo, M7 = 27 – 1 = 127 = 11111112 es un número de Mersenne y también es el primo de Mersenne número cuatro. Esta propiedad permite implementar cálculos con números de Mersenne en los computadores de manera más sencilla. No todos los primos son primos de Mersenne, pero, como éstos se pueden implementar fácilmente en un programa de ordenador, los mayores primos conocidos son de Mersenne.

El primo de Mersennen recientemente descubierto expresado en notación decimal consta de 23.249.425 dígitos, un millón de dígitos mayor que el anterior récord. Es, en concreto, el siguiente número:



277232917 – 1

Para saber si un número de Mersenne es primo se utiliza el test de Lucas-Lehmer, pero lo difícil es dar con alguno a base de probar con muchas posibilidades. Por eso repartir la tarea de búsqueda entre una multitud de ordenadores es una buena estrategia. A principios de los noventa Richard Crandall, investigador de Apple, descubrió una manera de doblar la velocidad a la que se calculan las convoluciones (básicamente una gran operación de multiplicación), algoritmo en el que se basa este tipo de búsqueda de primos de Mersenne. Sin embargo este algoritmo se puede aplicar a la búsqueda de otros aspectos de la computación. Crandall patentó el sistema de cifrado elíptico que permite cifrar y descifrar mensajes de manera rápida, patente que ahora posee Apple (lamentablemente en algunos países se permite patentar este tipo de cosas).

Los mayores primos de Mersenne, incluyendo este último, han sido descubiertos gracias al proyecto internacional GIMPS (Great Internet Mersenne Prime Search) basado en computación distribuida, y que usa los PC de voluntarios a lo largo de todo el mundo al estilo del Seti at home. Con cientos de miles de CPUs calculando picos de cientos de billones de operaciones por segundo, el GIMPS es el proyecto colaborativo más grande funcionando de manera ininterrumpida.

A veces hay premios en metálico de distinta cuantía para este tipo de descubrimientos. En este caso, Jonathan Pace, un ingeniero eléctrico de 51 años de Germantown (Tennessee), se ha llevado los 3000 dólares de premio, ya que fue su computadora la que lo descubrió. Además obtendrá ese trocito de inmortalidad de figurar en el listado de aquellos que han descubierto primos grandes. Todo aquel que lo desee puede descargarse el programa y probar suerte.

Aunque hay infinitos primos e infinitos primos de este tipo, las posibilidades de encontrarlos se reducen conforme aumenta su tamaño por limitaciones computacionales.

Los expertos han encontrado sorprendente que este nuevo primo de Mersenne se haya encontrado tan rápidoo a tan corta distancia del anterior, pues el previo se descubrió en 2015. Ese era 5 millones de dígitos más largo que el anterior descubierto en 2013. La realidad es que no se sabe cómo se distribuyen los primos de Mersenne. El nuevo caso podría significar que este tipo de primos aparecen más frecuentemente de lo que se creía o que pueden aparecer apegotados en grupos.

La búsqueda de los primos de Mersenne ha sido siempre un ejercicio que pone a prueba la potencia de computación y por tanto la fortaleza de los sistemas de cifrado. Casi todo sistema de cifrado que se usa en la actualidad, incluido el https que utilizamos para conectarnos con el banco o para pagar con tarjeta de crédito en internet, está basado en el algoritmo RSA que utiliza primos grandes y cálculos similares a los que se emplean en GIMPS. Aunque estos números de Mersenne generalmente no se utilizan directamente para el cifrado, la seguridad del RSA depende de lo hábiles que seamos en el manejo de este tipo de primos grandes o de factorizar otros números compuestos igualmente grandes.

Cuando Newton o Leibniz descubrieron el cálculo infinitesimal no pensaban que nos desplazaríamos en aviones diseñados gracias a ese sistema matemático, al igual que Hilbert no pensó que sus espacios abstractos homónimos de infinitas dimensiones se aplicarían posteriormente en Mecánica Cuántica. Un descubrimiento académico del presente puede ser práctico en el futuro.
Pero no podemos ver este tipo de descubrimientos bajo un punto de vista puramente utilitarista o ingenieril. Aunque este descubrimiento es anecdótico, el simple hecho de descubrir un primo de Mersenne más es similar a descubrir una isla desconocida, una nueva especie animal o un planeta extrasolar. Tiene valor en sí mismo, el valor intrínseco de algo hermoso. La belleza de lo nuevo, y antes desconocido, que, simplemente, satisface nuestra curiosidad.
Es curioso que podamos demostrar que hay infinitos números primos cada vez más espaciados en el conjunto de los reales, pero que sólo podemos conocer unos pocos de ellos y sólo a través de un laborioso trabajo.

La hipótesis de Riemann, si al final es demostrada, podría ayudarnos a saber cómo se distribuyen. Demostrar este hipótesis es uno de los problemas que Hilbert propuesto en 1900 y ahora es uno de los problemas del milenio propuestos por el Intituto Clay.

No sabemos todavía si hay o no planetas como la Tierra y aún así los buscamos. Si hay quizás algunos tengan vida. Nunca los podremos visitar y casi ninguno (si es que los hay) albergará vida inteligente. Pero si hay otras civilizaciones conocerán los primos de Mersenne y gastarán su tiempo y energía en descubrirlos al igual que hacemos nosotros. Incluso otros entes pensantes que habiten otros hipotéticos universos también lo harán. Estos números habitan otro espacio, un espacio abstracto accesible sólo a través de mentes inquietas que tienen curiosidad. Una curiosidad que los haría humanos e inteligentes y les permitiría, eventualmente, comunicarse con otros seres igualmente inteligentes y curiosos empleando un lenguaje trasuniversal basado en las Matemáticas.

La ameba, el gusano o las cucarachas (y algún humano terrestre) sólo se mueven por utilitarismo y carecen de curiosidad. La pregunta “¿y eso para qué sirve?” siempre califica al que la emite como un ignorante que no sabe ni quiere cambiar su condición.

Copyleft: atribuir con enlace a http://neofronteras.com/?p=5920

Fuentes y referencias:
Nota de prensa.
Hallan el primo de Mersenne número 44.
Hallan los primos de Mersenne números 45 y 46.
Otro primo de Mersenne.
Foto: Max Pixel.

Salvo que se exprese lo contrario esta obra está bajo una licencia Creative Commons.
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16 Comentarios »

  1. petrus:

    Me permito sugerir un nuevo tipo de números candidatos a primo, que deberían llamarse números de Petrus , muy fáciles de escribir en base 10 que son: clase A) cifra seis seguida de los ceros que se quiera y acabando con un uno final, como 600000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000…1
    y clase B) cifra cinco seguida de cifras 9 ad libitum, tal como 599999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999…9
    Ambos ejemplos son candidatos a primos, bien sencillos de encontrar, y gratis. En realidad son solo ejemplos de cada una de las dos familias de primos existentes, que pueden formularse como 6n+1 y 6n-1. Cada familia tiene infinitos primos y eso prueba la conjetura de que hay infinitos pares de primos gemelos y de cualquier otra diferencia par. Más información en 100cia.com ( Matematicas/ números primos; conjetura de los primos gemelos). Aviso: un poco larga, pero casi toda con matemática sencilla.
    Como ejercicio de comprobación, propongo el número 6 seguido de 10E100 ceros más el 1 final ¿ será primo ? ¿ y el que lo intente demostrar ?
    s.e.u.o.

  2. lluís:

    No siempre es “mala” la mentalidad ” ingenieril”. Por ejemplo, Cardan se quedó atascado en la resulución de ecuaciones del tipo x^3=cx+d. Con la fórmula de Cardan para solventar esa clase de ecuaciones, al matemático le aparecían raíces cuadradas de números negativos. Y en ese momento no existía solución para ello.No la había hasta que fue el ingeniero Rafel Bombelli, el que pensó que debería existir otra clase de números para poder dar solución a esas ecuaciones. Y acertó, puesto que Bombelli acabó dando con los numeros complejos ( o imaginarios, que por cierto son bien reales)al intentar solucionar la ecuación x^3= 15x+4.

    Aunque desde luego es muy triste escuchar una y otra vez la funesta pregunta ¿ y esto para qué sirve?.

  3. Gerardo:

    Bueno, sugiero ver la pregunta ¿y esto para qué sirve? de una manera positiva: la formula alguien que por unos segundos abre su mente para entender de que está leyendo/escuchando.

    Si alguien te pregunta ¿y los números primos para que sirven? te está dando la oportunidad de demostrarte a ti mismo que SABES PARA QUE SIRVE, y dandole la oportunidad al que pregunta de aprender algo nuevo.

  4. NeoFronteras:

    Sobre el tema de la “utilidad” es recomendable:
    La utilidad de lo inútil, Manifiesto
    de Nuccio Ordine.

  5. petrus:

    En realidad, algunos saberes matemáticos parecen no tener ninguna aplicación práctica pero, sólo es un ejemplo, operaciones simples como el producto, como otras, tienen un efecto curioso, que es la pérdida de información que producen. Dados dos números a y b ( dos datos), se pueden conocer su suma, su producto, ( más información). Pero dado el dato del producto, o el de la suma, ya no es posible o resulta difícil asegurar los números que los originaron. Una especie de entropía , como la termodinámica. Y para invertir el proceso, es necesario utilizar trabajo, aunque sea mental, como aquí, en el caso de querer conocer si un número es primo, que no es otra tarea sino probar posibles factores … siempre el maldito trabajo, hagas lo que hagas, y siempre con rendimiento menor que uno… entropía creciente, cada vez más viejos y menos energía-información disponible. EL pesimismo no es mío, es el incremento de entropía del primer día de trabajo después de las fiestas navideñas…

  6. Eduardo E. Balazs:

    Figura en vuestra lista los numeros 15 y 63 como de Merselle y primos, es un error o una falta de corrección ?

  7. JavierL:

    Sobre la utilidad de las investigaciones A mi me gusta mucho este extracto de carl Sagan en el mundo y sus demonios

    Maxwell no pensaba en la radio, el radar y la televisión cuando
    garabateó por primera vez las ecuaciones fundamentales del
    electromagnetismo; Newton no soñaba con el vuelo espacial o los satélites de
    comunicación cuando entendió por primera vez el movimiento de la Luna;
    Roentgen no pensaba en el diagnóstico médico cuando investigó una
    radiación penetrante tan misteriosa que la llamó «rayos X»; Curie no pensaba
    en la terapia para el cáncer cuando extrajo laboriosamente cantidades
    mínimas de radio de toneladas de pechblenda; Fleming no planeaba salvar la
    vida de millones de personas con los antibióticos cuando observó un círculo
    libre de bacterias alrededor de un brote de moho; Watson y Crick no
    imaginaban la curación de enfermedades genéticas cuando se devanaban los
    sesos sobre la difractometría de rayos X del ADN; Rowland y Molina no
    planeaban implicar los CFC en la reducción del ozono cuando empezaron a
    estudiar el papel de los halógenos en la fotoquímica estratosférica.

    De vez en cuando, miembros del Congreso y otros líderes políticos
    no se han podido resistir a bromear sobre alguna proposición científica
    aparentemente oscura para la que se pide financiación al gobierno. Hasta un
    senador tan brillante como William Proxmire, licenciado en Harvard, tenía
    tendencia a conceder el premio del «vellocino de oro» a proyectos científicos
    ostensiblemente inútiles, incluyendo el SETI. Me imagino el mismo espíritu
    en gobiernos previos: un tal señor Fleming desea estudiar los gusanos en el
    queso oloroso; una mujer polaca desea tamizar toneladas de mineral del
    centro de África para encontrar cantidades mínimas de una sustancia que,
    según dice, resplandecerá en la oscuridad; un tal señor Kepler quiere
    escuchar las canciones que cantan los planetas.

    Esos descubrimientos y muchos más, que caracterizan y honran a
    nuestra época y a algunos de los cuales debemos la vida, fueron hechos por
    científicos que tuvieron la oportunidad de explorar lo que en su opinión, bajo
    el escrutinio de sus colegas, eran cuestiones básicas de la naturaleza.

  8. JavierL:

    Referente al tema del articulo yo have medio año vi un video muy bueno donde hablan del número 49… Quizás aporte un poco para comprender.

    https://youtu.be/BGryZFh1Wq8

    Un abrazo

  9. NeoFronteras:

    Eduardo E. Balazs:
    No hay ningún error. No todo número de Mersenne es primo. Así, 2 elevado a 4 menos 1 es número de Mersenne y 15, que, obviamente, no es primo. Pero sigue siendo un número de Mersenne.

    En el texto ya se dice que:

    Los primos de Mersenne son números de Mersenne que además son primos, es decir, divisibles sólo por ellos mismos y por la unidad.

    De todos modos se ha adelantado ese párrafo y se ha aclarado aún más el concepto para que no haya confusión, corregiendo de paso otra errata distinta.

    Gracias por su comentario.

  10. Miguel Ángel:

    Muy buenas aportaciones, querido JavierL. Y muy acertado Sagan en su exposición.

    Abrazos transatlánticos.

  11. Eduardo E. Balazs:

    Gracias por la corrección, lo anterior se prestaba a confusión.

  12. tomás:

    Muy bueno el enlace que nos aconseja JavierL. Pero me pregunto: ¿por qué solo él y Miguel Ángel se ocuparon del problema que expuse para celebrar los Santos Inocentes con tantos fenomenales matemáticos que tenemos por compañeros? Sinceramente: ¿es que lo considerasteis demasiado fácil? Con la misma sinceridad he de decir que a mí no me pareció difícil salvo por la dificultad del ingenio a aplicar en la interpretación; pero ninguno de los amigos a los que se lo he presentado lo ha podido resolver.
    Bueno, es un tema lateral, pero agradecería una respuesta.

  13. JavierL:

    Quizás porque estaban celebrando navidad y año nuevo… Yo apenas so tuve tiempo amigo tomas… Y como te dije garabatie las ecuaciones y no tenia tiempo para llevarlo a más… (ni sobriedad)

  14. Miguel Ángel:

    Pues no estuviste nada mal, amigo JavierL.

    Un brindis.

  15. tomás:

    Me parece, con cierta tristeza, que, salvo vosotros dos, los demás no me hicieron ni caso. Así que se lo he enviado a un muy buen amigo, abogado y amante de la ciencia, que fue campeón de ajedrez de Cataluña -hace ya unos quince años que no nos vemos (así que amistad renovada lo cual es, en sí, una gran satisfacción)- y que teníamos como afición compartida proponernos problemas de ingenio. Espero sus noticias.
    También se lo envié un primo mío -no de Mersenne- que me dijo que no tenía intención alguna de pensar, salvo en chicas de buen ver y en el inacabable e insoportable “procés” que ya aburre hasta a los más burros y perdón por la rebuznancia. También a mi nieto, ingeniero que hizo un muy encomiable e ingenioso proyecto fin de carrera y que alguna vez me ha endosado algún problemilla. A ver si alguno de ellos me da alguna alegría.
    Y a “petrus” y Lluís”, un fuerte abrazo, respetando que no quisieran obsequiarme con su talento. Es un abrazo de verdad, no de resquemor aunque pueda parecerlo -juro que es noble-.
    Chao.

  16. tomás:

    Pero no sé si a “petrus” le daré un disgustillo -le salva el “candidatos”- porque el 6001, el 5999 y el 60001 no son primos, aunque sí el 59999.
    Un abrazo y me gustaría equivocarme. Tú dirás.

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