NeoFronteras

Hallan los primos de Mersenne números 45 y 46

Área: Matemáticas — Jueves, 18 de Septiembre de 2008

Descubren los dos primos de Mersenne más grandes hasta la fecha. El mayor de ellos hace ganar 100.000 dólares al que lo encontró.

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El proyecto Great Internet Mersenne Prime Search (GIMPS) ha anunciado el descubrimiento, no de uno, sino de dos números primos de Mersenne. El método empleado es el de la computación distribuida en la que muchos voluntarios permiten el uso de CPU de sus máquinas. No es la primera vez que se descubre un número primo de este tipo con este método por esta misma organización. El que ahora hace el número 46 es el número primo más grande conocido hasta la fecha.
Los números de Mersenne son del tipo Mn = 2n – 1 siendo los primeros 1, 3, 7, 15, 31, 63, 127, … Los primos de Mersenne tienen un origen curioso y están relacionados con los llamados números perfectos que ya fueron estudiados en la antigua Grecia. Toman el nombre de Marin Mersenne (1588-1648), monje y matemático originario de Francia.
La definición de estos números permite saber que el n-ésimo número de Mersenne es una cadena de n unos cuando se escribe en binario (base 2). Por ejemplo, M7 = 27 – 1 = 127 = 11111112 es un número de Mersenne. Esta propiedad permite implementar cálculos con números de Mersenne en los computadores de manera más sencilla. No todos los primos son primos de Mersenne, pero como éstos se pueden implementar fácilmente en un programa de ordenador los 8 mayores primos conocidos son de Mersenne.
Si n es menor o igual a 7 entonces Mn es primo, pero después no es así necesariamente. Los primos de Mersenne son números de Mersenne que además son primos, es decir divisibles sólo por ellos mismos y por la unidad. El primo de Mersenne número cuatro de esta lista es precisamente el ejemplo anterior.
Los recientemente descubiertos primos no sólo son los primos de Mersennen más grandes conocidos, sino los primos más grandes conocidos. Hacen el número 45 y 46 respectivamente y son:

237156667 – 1 = 20225440689097733553…21340265022308220927 y

243112609 – 1 = 31647026933025592314…80022181166697152511,

donde las líneas de puntos significa que hay dígitos que han sido omitidos, porque cada uno tiene 11.185.272 y 12.978.189 dígitos respectivamente. Así que los lectores sabrán perdonar el que no aparezcan al completo aquí.
Esta vez el descubrimiento tiene además un valor monetario. Edson Smith, un administrador de sistemas del departamento de matemáticas de UCLA, además de pasar a la posteridad, recibirá los 100.000 dólares del premio que la Electronic Frontier Foundation ofrecia a aquel que descubriera el primer primo de más de 10 millones de dígitos. Su máquina fue la que dio con el primo más grande del que hablamos aquí. El primo de Mersenne número 45 fue descubierto dos semanas más tarde. Es de suponer que otros administradores de sistemas estarán ahora preguntándose por qué diablos no instalaron ellos el programa. Aunque Smith tendrá que compartir el dinero del premio con la organización GIMPS y dar parte a obras benéficas según los acuerdos previos de utilización del programa de GIMPS.
Para saber si un número de Mersenne es primo se utiliza el test de Lucas-Lehmer, pero lo difícil es dar con alguno abase de probar con muchos. Repartir la tarea de búsqueda entre una multitud de ordenadores es una buena estrategia. Los doce mayores primos de Mersenne, incluyendo estos dos últimos, han sido descubiertos gracias al proyecto internacional GIMPS (Great Internet Mersenne Prime Search) basado en computación distribuida, y que usa los PC de voluntarios a lo largo de todo el mundo al estilo del Seti at home. Debido al sistema búsqueda empleado las posiciones de los primos de Mersenne que van 41 al 46 son provisionales, ya que podría haber otros primos de Mersennen entre medias y todavía sin descubrir.
La búsqueda de los primos de Mersenne ha sido siempre un ejercicio que pone a prueba la potencia de computación y por tanto la fortaleza de los sistemas de cifrado. Casi todo sistema de cifrado que se usa en la actualidad, incluido el https que utilizamos para conectarnos con el banco o para pagar con tarjeta de crédito en internet, está basado en el algoritmo RSA que utiliza primos grandes y cálculos similares a los que se emplean en GIMPS. Aunque estos números de Mersenne no se utilizan directamente para el cifrado, la seguridad del RSA depende de lo hábiles que seamos en el manejo de este tipo de primos grandes o de factorizar otros números compuestos igualmente grandes.
Cuando Newton o Leibniz descubrieron el cálculo infinitesimal no pensaban que nos desplazaríamos en aviones diseñados gracias a ese sistema matemático, al igual que Hilbert no pensó que sus espacios abstractos homónimos de infinitas dimensiones se aplicarían posteriormente en mecánica cuántica. Un descubrimiento académico del presente puede ser práctico en el futuro.
Dejando a un lado el premio en metálico que está vez conlleva el hallazgo y los usos indirectos o futuros de las técnicas desarrolladas para esto, no podemos ver este tipo de descubrimientos bajo un punto de vista puramente utilitarista o ingenieril.
Aunque este descubrimiento es anecdótico, el simple hecho de descubrir un primo de Mersenne más es similar a descubrir una isla desconocida, una nueva especie animal, o un planeta extrasolar, y tiene valor en sí mismo, el valor intrínseco de algo bello. La belleza de lo nuevo, y antes desconocido, que simplemente satisface nuestra curiosidad.
Es curioso que podamos demostrar que hay infinitos números primos cada vez más espaciados en el conjunto de los reales, pero que sólo podemos conocer unos pocos de ellos y sólo a través de un laborioso trabajo.
No sabemos si hay o no planetas de tipo terrestre y aún así los buscamos. Probablemente nunca los podremos visitar y casi ninguno (si es que los hay) albergará vida inteligente. Pero si hay otras civilizaciones conocerán los mismos primos de Mersenne que nosotros y gastarán su tiempo y energía en descubrirlos al igual que hacemos nosotros. Estos números habitan otro espacio, un espacio abstracto accesible sólo a través de mentes inquietas que tienen curiosidad. Una curiosidad que los haría humanos e inteligentes y les permitiría, eventualmente, comunicarse con otros seres igualmente inteligentes y curiosos.
La ameba, el gusano o las cucarachas (y algún humano terrestre) sólo se mueven por utilitarismo y carecen de curiosidad.

Fuentes y referencias:
GIMPS Home Page.
Nota de prensa.
Nota en Wolfram.
Noticia en Scientific American.
Hallan el primo de Mersenne número 44.
Ilustración: montaje por NeoFronteras.

La tabla siguiente muestra todos los primos Mersenne conocidos hasta la fecha.

# n digitos año descubridores
1 2 1 antigüedad  
2 3 1 antigüedad  
3 5 2 antigüedad  
4 7 3 antigüedad  
5 13 4 1461 Reguis (1536), Cataldi (1603)
6 17 6 1588 Cataldi (1603)
7 19 6 1588 Cataldi (1603)
8 31 10 1750 Euler (1772)
9 61 19 1883 Pervouchine, Seelhoff (1886)
10 89 27 1911 Powers (1911)
11 107 33 1913 Powers (1914)
12 127 39 1876 Lucas (1876)
13 521 157 Jan. 30, 1952 Robinson
14 607 183 Jan. 30, 1952 Robinson
15 1279 386 Jan. 30, 1952 Robinson
16 2203 664 Jan. 30, 1952 Robinson
17 2281 687 Jan. 30, 1952 Robinson
18 3217 969 Sep. 8, 1957 Riesel
19 4253 1281 Nov. 3, 1961 Hurwitz
20 4423 1332 Nov. 3, 1961 Hurwitz
21 9689 2917 May 11, 1963 Gillies (1964)
22 9941 2993 May 16, 1963 Gillies (1964)
23 11213 3376 Jun. 2, 1963 Gillies (1964)
24 19937 6002 Mar. 4, 1971 Tuckerman (1971)
25 21701 6533 Oct. 30, 1978 Noll and Nickel (1980)
26 23209 6987 Feb. 9, 1979 Noll (Noll and Nickel 1980)
27 44497 13395 Apr. 8, 1979 Nelson and Slowinski (1978-79)
28 86243 25962 Sep. 25, 1982 Slowinski
29 110503 33265 Jan. 28, 1988 Colquitt and Welsh (1991)
30 132049 39751 Sep. 20, 1983 Slowinski
31 216091 65050 Sep. 6, 1985 Slowinski
32 756839 227832 Feb. 19, 1992 Slowinski and Gage
33 859433 258716 Jan. 10, 1994 Slowinski and Gage
34 1257787 378632 Sep. 3, 1996 Slowinski and Gage
35 1398269 420921 Nov. 12, 1996 Joel Armengaud/GIMPS
36 2976221 895832 Aug. 24, 1997 Gordon Spence/GIMPS
37 3021377 909526 Jan. 27, 1998 Roland Clarkson/GIMPS
38 6972593 2098960 Jun. 1, 1999 Nayan Hajratwala/GIMPS
39 13466917 4053946 Nov. 14, 2001 Michael Cameron/GIMPS
40 20996011 6320430 Nov. 17, 2003 Michael Shafer/GIMPS
41? 24036583 7235733 May 15, 2004 Josh Findley/GIMPS
42? 25964951 7816230 Feb. 18, 2005 Martin Nowak/GIMPS
43? 30402457 9152052 Dec. 15, 2005 C. Cooper & S. Boone/GIMPS
44? 32582657 9808358 Sep. 4, 2006 C. Cooper & S. Boone/GIMPS
45? 37156667 11185272 Sep. 6, 2008 Hans-Michael Elvenich/GIMPS
46? 43112609 12978189 Aug. 23, 2008 Edson Smith/GIMPS
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4 Comentarios

  1. ElHombrePancho:

    Es una pena usar el tiempo voluntario de la comuputación distribuída para ganar dinero, habiendo tantas causas a las que apuntarse. En mi BOINC (http://es.wikipedia.org/wiki/BOINC) sólo tengo proyectos sin ánimo de lucro.

  2. lluís:

    Ganar dinero me parece una buena causa (y más en este tipo de cosas). Si no ganamos dinero difícilmente podríamos apuntarnos a causas solidarias. Por fuerza debe haber un excedente para dedicarse al altruismo.

  3. ElHombrePancho:

    Sí, pero es que ese dinero no se reparte entre los que han donado su tiempo, sino que se lo queda una institución o grupo que sólo ha puesto las cosas a andar y se aprovecha del trabajo o tiempo voluntario y gratuito de los demás. Como la SGAE.

  4. NeoFronteras:

    El reparto es bastante justo. La mitad de los 100.000 dólares va para Smith y su institución, 25.000 dólares a obras de caridad, 5.000 para la organización GIMPS y el resto se repartirá entre los participantes en el proyecto que han prestado sus equipos.
    Por otro lado, para llegar a la altura de la SGAE habría que caer muy bajo.

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