NeoFronteras

Hallan el primo de Mersenne número 44

Área: Matemáticas — Lunes, 2 de Octubre de 2006

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Hace un par de semanas confirmaron el descubrimiento un nuevo primo de Mersenne que hace el número 44 de la lista del mismo nombre y que es el número primo más grande conocido hasta la fecha.
Los números de Mersenne son del tipo Mn = 2n – 1 siendo los primeros 1, 3, 7, 15, 31, 63, 127, … Toman el nombre de Marin Mersenne (1588-1648), monje y matemático originario de Francia (ver foto adjunta).
La definición de estos números permite saber que el n-ésimo número de Mersenne es una cadena de n unos cuando se escribe en binario (base 2). Por ejemplo, M7 = 27 – 1 = 127 = 11111112 es un número de Mersenne. Si n es menor o igual a 7 entonces Mn es primo, pero después no es así necesariamente. Los primos de Mersenne son números de Mersenne que además son primos, es decir divisibles sólo por ellos mismos y por la unidad. El primo de Mersenne número cuatro de esta lista es precisamente el ejemplo anterior.
El recientemente descubierto, y mayor primo conocido hasta el momento, hace el número 44 y es concretamente:

232582657 – 1 = 12457502601536945540…11752880154053967871

donde la línea de puntos significa que hay millones de dígitos que han sido omitidos.
No todos los primos son primos de Mersenne, pero como éstos se pueden implementar fácilmente en un programa de ordenador los 6 mayores primos conocidos son de Mersenne. Para saber si un número de Mersenne es primo se utiliza el test de Lucas-Lehmer.
El nuevo primo de Mersenne tiene 9.808.358 dígitos. Puede obtenerse fácilmente a través de un pequeño programa en Mathematica realizado por Richard Crandall, descubridor del algoritmo que usa el proyecto GIMPS.
Los diez mayores primos de Mersenne, incluyendo este último, han sido descubiertos gracias al proyecto internacional GIMPS (Great Internet Mersenne Prime Search) basado en computación distribuida, y que usa los PC de voluntarios a lo largo de todo el mundo al estilo del Seti at home.
La búsqueda de los primos de Mersenne ha sido siempre un ejercicio que pone a prueba la potencia de computación y por tanto la fortaleza de los sistemas de encriptación. Los primos de Mersenne están relacionados con los llamados números perfectos que ya fueron estudiados en la antigua Grecia.
La tabla siguiente muestra todos los primos Mersenne conocidos.

# n dígitos año descubierto por
1 2 1 antiquity  
2 3 1 antiquity  
3 5 2 antiquity  
4 7 3 antiquity  
5 13 4 1461 Reguis (1536), Cataldi (1603)
6 17 6 1588 Cataldi (1603)
7 19 6 1588 Cataldi (1603)
8 31 10 1750 Euler (1772)
9 61 19 1883 Pervouchine (1883), Seelhoff (1886)
10 89 27 1911 Powers (1911)
11 107 33 1913 Powers (1914)
12 127 39 1876 Lucas (1876)
13 521 157 Jan. 30, 1952 Robinson
14 607 183 Jan. 30, 1952 Robinson
15 1279 386 Jan. 30, 1952 Robinson
16 2203 664 Jan. 30, 1952 Robinson
17 2281 687 Jan. 30, 1952 Robinson
18 3217 969 Sep. 8, 1957 Riesel
19 4253 1281 Nov. 3, 1961 Hurwitz
20 4423 1332 Nov. 3, 1961 Hurwitz
21 9689 2917 May 11, 1963 Gillies (1964)
22 9941 2993 May 16, 1963 Gillies (1964)
23 11213 3376 Jun. 2, 1963 Gillies (1964)
24 19937 6002 Mar. 4, 1971 Tuckerman (1971)
25 21701 6533 Oct. 30, 1978 Noll and Nickel (1980)
26 23209 6987 Feb. 9, 1979 Noll (Noll and Nickel 1980)
27 44497 13395 Apr. 8, 1979 Nelson and Slowinski (Slowinski 1978-79)
28 86243 25962 Sep. 25, 1982 Slowinski
29 110503 33265 Jan. 28, 1988 Colquitt and Welsh (1991)
30 132049 39751 Sep. 20, 1983 Slowinski
31 216091 65050 Sep. 6, 1985 Slowinski
32 756839 227832 Feb. 19, 1992 Slowinski and Gage
33 859433 258716 Jan. 10, 1994 Slowinski and Gage
34 1257787 378632 Sep. 3, 1996 Slowinski and Gage
35 1398269 420921 Nov. 12, 1996 Joel Armengaud/GIMPS
36 2976221 895832 Aug. 24, 1997 Gordon Spence/GIMPS (Devlin 1997)
37 3021377 909526 Jan. 27, 1998 Roland Clarkson/GIMPS
38 6972593 2098960 Jun. 1, 1999 Nayan Hajratwala/GIMPS
39 13466917 4053946 Nov. 14, 2001 Michael Cameron/GIMPS
40 20996011 6320430 Nov. 17, 2003 Michael Shafer/GIMPS
41 24036583 7235733 May 15, 2004 Josh Findley/GIMPS
42 25964951 7816230 Feb. 18, 2005 Martin Nowak/GIMPS
43 30402457 9152052 Dec. 15, 2005 Curtis Cooper and Steven Boone/GIMPS
44 32582657 9808358 Sep. 4, 2006 Curtis Cooper and Steven Boone/GIMPS

Referenencias y fuentes:
Mathworld
GIMPS

Salvo que se exprese lo contrario esta obra está bajo una licencia Creative Commons.
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4 Comentarios

  1. Ergio el Autoinductivo:

    Este tipo de descubrimientos siempre son curiosos, pero no consigo verles una apliación (tampoco digo que forzosamente tengan que tener una).
    En el artículo se comenta la encriptación, pero aún así no veo como implementar estos números en un sistema de encriptado de datos que lo vaya hacer superior a otros sistemas.

  2. NeoFronteras:

    No podemos ver este tipo de cosas siempre bajo el punto de vista utilitarista. Cuando Newton o Leibniz descubrieron el cálculo infinitesimal no pensaban que usted se desplazaría en un avión diseñado gracias a ese sistema matemático, al igual que Hilbert no pensó que sus espacios abstractos homónimos de infinitas dimensiones se aplicarían posteriormente en mecánica cuántica. Un descubrimiento académico del presente puede ser práctico en el futuro.
    Aunque este descubrimiento es anecdótico, el simple hecho de descubrir este número es similar a descubrir una isla desconocida, una nueva especie animal, o un planeta extrasolar, y tiene valor en sí mismo, el valor intrínseco de algo bello. La belleza de lo nuevo que simplemente satisface nuestra curiosidad.
    Sin embargo, todo sistema de cifrado que se utiliza en la actualidad, incluido el https que utiliza para conectarse con su banco o pagar con tarjeta de crédito en internet, está basado en el algoritmo RSA que utiliza primos grandes y cálculos similares a los que se emplean en GIMPS.
    Aunque estos números de Mersenne no se utilizan directamente para el cifrado, la seguridad del RSA depende de lo hábiles que seamos en el manejo de este tipo de primos grandes o de factorizar otros números igualmente grandes.
    Si algún día podemos realizar un cálculo como el descrito aquí en un PC corriente (por el uso de nuevos algoritmos o nuevo hardware) significará que cualquiera podrá romper el encriptado RSA de cierto nivel y habrá que saltar al escalón RSA siguiente más seguro (pero de cálculo más trabajoso), so pena de pagarlo muy caro.
    En todo caso es curioso que podamos demostrar que hay infinitos números primos cada vez más espaciados en el conjunto de los reales, pero que sólo podemos conocer unos pocos de ellos y sólo a través de un laborioso trabajo.
    No sabemos si hay o no planetas de tipo terrestre y aun así los buscamos. Probablemente nunca los podremos visitar y casi ninguno (si es que los hay) albergará vida inteligente. Pero si hay otras civilizaciones conocerán los mismos primos de Mersenne que nosotros y gastarán su tiempo y energía en descubrirlos al igual que hacemos nosotros. Estos números habitan otro espacio, un espacio abstracto accesible sólo a través de mentes inquietas que tienen curiosidad. Una curiosidad que los hace humanos e inteligentes y les permitiría eventualmente comunicarse con otros seres igualmente inteligentes y curiosos.
    La ameba, el gusano o las cucarachas (y algún humano) sólo se mueven por utilitarismo y carecen de curiosidad.

  3. Ergio el Autoinductivo:

    Supongo que esa es la diferencia principal entre la ciencia pura y la ingeniería. De todas formas creo que habéis malinterpretado mi comentario, de ningún modo pretendía menospreciar este descubrimiento.

  4. thctase:

    http://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_primo

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