NeoFronteras

Otro primo de Mersenne

Área: Matemáticas — Sábado, 9 de febrero de 2013

Descubren el primo de Mersenne más grande hasta la fecha y, por tanto, mayor primo conocido. Hace el número 48 de este tipo de números primos.

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El proyecto Great Internet Mersenne Prime Search (GIMPS) ha anunciado el descubrimiento del primo de Mersenne número 48. El método empleado es el de la computación distribuida en la que muchos voluntarios permiten el uso de CPU de sus máquinas. No es la primera vez que se descubre un número primo de este tipo con este método por esta misma organización.
Los números de Mersenne son del tipo Mn = 2n – 1 siendo los primeros 1, 3, 7, 15, 31, 63, 127, … Los primos de Mersenne tienen un origen curioso y están relacionados con los llamados números perfectos. Euclides en el año 350 antes de nuestra era estudió este tipo de números. Toman el nombre de Marin Mersenne (1588-1648), monje y matemático originario de Francia, quien propuso una conjetura para los valores que tendría que tener el exponente “n” para que el resultado fuera primo.
La definición de estos números permite saber que un número de Mersenne es una cadena de n unos cuando se escribe en binario (base 2). Por ejemplo, M7 = 27 – 1 = 127 = 11111112 es un número de Mersenne. Esta propiedad permite implementar cálculos con números de Mersenne en los computadores de manera más sencilla. No todos los primos son primos de Mersenne, pero como éstos se pueden implementar fácilmente en un programa de ordenador los mayores primos conocidos son de Mersenne.
Si n es menor o igual a 7 entonces Mn es primo, pero después no es así necesariamente. Los primos de Mersenne son números de Mersenne que además son primos, es decir, divisibles sólo por ellos mismos y por la unidad. El primo de Mersenne número cuatro de esta lista es precisamente el ejemplo anterior. Y el primo de Mersennen recientemente descubierto (que expresado en notación decimal, consta de 17425170 dígitos) es, en concreto, el siguiente:



257885161 – 1

Para saber si un número de Mersenne es primo se utiliza el test de Lucas-Lehmer, pero lo difícil es dar con alguno a base de probar con muchas posibilidades. Por eso repartir la tarea de búsqueda entre una multitud de ordenadores es una buena estrategia. A principios de los noventa Richard Crandall, investigador de Apple, descubrió una manera de doblar la velocidad a la que se calculan las convoluciones (básicamente una gran operación de multiplicación), algoritmo en el que se basa este tipo de búsqueda de primos de Mersenne. Sin embargo este algoritmo se puede aplicar a la búsqueda de otros aspectos de la computación. Crandall patentó el sistema de cifrado elíptico que permite cifrar y descifrar mensajes de manera rápida, patente que ahora posee Apple (lamentablemente en algunos países se permite patentar este tipo de cosas).
Los mayores primos de Mersenne, incluyendo este último, han sido descubiertos gracias al proyecto internacional GIMPS (Great Internet Mersenne Prime Search) basado en computación distribuida, y que usa los PC de voluntarios a lo largo de todo el mundo al estilo del Seti at home. Con 360000 CPUs calculando a un pico de 150 billones de operaciones por segundo, el GIMPS es el proyecto colaborativo más grande funcionando de manera ininterrumpida.
A veces hay premios en metálico de distinta cuantía para este tipo de descubrimientos. La próxima meta de GIMPS descubrir un primo con 100 millones de dígitos, hallazgo que tendrían un premio de 150.000 dólares a repartir entre los distintos actores partícipes del descubrimiento. Además está ese trocito de inmortalidad de figurar en el listado de aquellos que han descubierto primos grandes. Todo aquel que lo desee puede descargarse el programa y probar suerte.
Aunque hay infinitos primos e infinitos primos de este tipo, las posibilidades de encontrarlos se reducen conforme aumenta su tamaño por limitaciones computacionales.
La búsqueda de los primos de Mersenne ha sido siempre un ejercicio que pone a prueba la potencia de computación y por tanto la fortaleza de los sistemas de cifrado. Casi todo sistema de cifrado que se usa en la actualidad, incluido el https que utilizamos para conectarnos con el banco o para pagar con tarjeta de crédito en internet, está basado en el algoritmo RSA que utiliza primos grandes y cálculos similares a los que se emplean en GIMPS. Aunque estos números de Mersenne generalmente no se utilizan directamente para el cifrado, la seguridad del RSA depende de lo hábiles que seamos en el manejo de este tipo de primos grandes o de factorizar otros números compuestos igualmente grandes.
Cuando Newton o Leibniz descubrieron el cálculo infinitesimal no pensaban que nos desplazaríamos en aviones diseñados gracias a ese sistema matemático, al igual que Hilbert no pensó que sus espacios abstractos homónimos de infinitas dimensiones se aplicarían posteriormente en Mecánica Cuántica. Un descubrimiento académico del presente puede ser práctico en el futuro.
Pero no podemos ver este tipo de descubrimientos bajo un punto de vista puramente utilitarista o ingenieril. Aunque este descubrimiento es anecdótico, el simple hecho de descubrir un primo de Mersenne más es similar a descubrir una isla desconocida, una nueva especie animal, o un planeta extrasolar, y tiene valor en sí mismo, el valor intrínseco de algo bello. La belleza de lo nuevo, y antes desconocido, que simplemente satisface nuestra curiosidad.
Es curioso que podamos demostrar que hay infinitos números primos cada vez más espaciados en el conjunto de los reales, pero que sólo podemos conocer unos pocos de ellos y sólo a través de un laborioso trabajo.
No sabemos si hay o no planetas como la Tierra y aún así los buscamos. Probablemente nunca los podremos visitar y casi ninguno (si es que los hay) albergará vida inteligente. Pero si hay otras civilizaciones conocerán los mismos primos de Mersenne que nosotros y gastarán su tiempo y energía en descubrirlos al igual que hacemos nosotros. Incluso otros entes pensantes que habiten otros hipotéticos universos también los harán. Estos números habitan otro espacio, un espacio abstracto accesible sólo a través de mentes inquietas que tienen curiosidad. Una curiosidad que los haría humanos e inteligentes y les permitiría, eventualmente, comunicarse con otros seres igualmente inteligentes y curiosos con un lenguaje trasuniversal.
La ameba, el gusano o las cucarachas (y algún humano terrestre) sólo se mueven por utilitarismo y carecen de curiosidad. La pregunta “¿y eso para qué sirve?” siempre califica al que la emite como un ignorante que nos sabe ni quiere cambiar su condición.

Copyleft: atribuir con enlace a http://neofronteras.com/?p=4026

Fuentes y referencias:
Nota de prensa.
Hallan el primo de Mersenne número 44
Hallan los primos de Mersenne números 45 y 46.

Salvo que se exprese lo contrario esta obra está bajo una licencia Creative Commons.
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22 Comentarios

  1. Dr. Thriller:

    Aplaudo con las orejas la última frase. Y añado, con la agravante de que mientras en los casos citados, el utilitarismo viene de serie con la compra, en el caso de los humanos se da en personas damnificadas por un erróneo aprendizaje que en no pocas ocasiones puede rastrearse a ideologías perniciosas y vamos a dejarlo por no meternos en jardines.

    Discrepo en lo de vida inteligente. Una vez más, tiene que haberla en el espacio exterior, porque en la Tierra es sumamente rara xD.

    Y ya tengo guión para una de Sci-Fi. Cuando los humanos de la federación toman contacto con los Sobrados Primigenios, estos le preguntan a Yanlú Picar cuál es el primo de Mersenne más alto que conocen los humanos. Y cuando se les contesta, les entra la risa floja y pasan de seguir hablando.

  2. Gerardo:

    GUAO! y como hizo la tia de Mersenne para parir a tantos primos??!!

  3. Gerardo:

    ahora en serio: Esta demostrado que hay infinitos primos?

  4. baalamkan:

    Además de ser objeto de estudio de mentes curiosas, los sistemas de cifrado que más se utilizan en internet para proteger cuentas bancarias, datos de tarjetas y demás información sensible se basan en algoritmos que utilizan números primos. Así que el descubrimiento de números primos con un gran número de cifras desembocan en sistemas de seguridad mucho mas seguros. Nuestras cuentas de correo electrónico, el acceso al portal en línea a nuestros bancos, el cifrado de transacciones en línea, etc. son aplicaciones directas de los resultados de este estudio.

  5. NeoFronteras:

    Euclides ya demostró hace más de 22 siglos que hay un número infinito de primos.

  6. tomás:

    Estimado Gerardo: Veo que te ha respondido Neo, siempre tan amable, pues ninguno lo habíamos hecho. De todas formas prefiero convencer que afirmar y voy a echarte una mano de manera sencilla. Creo que es la demostración a que se refiere Neo. Seguro que no lo haré tan bien como Euclides, pero voy a hacerlo con la mejor voluntad. Imagínate el número primo más grande que se te pueda ocurrir. Sea P. Entonces toma todos los primos hasta P sin dejarte ninguno y los multiplicas: Será 2x3x5x7x11x13x17x19x…x101x…xP. Este número NO ES PRIMO (perdón por gritar) y vamos a llamarle “Q”. “Q” no es primo porque podemos descomponerlo en factores primos (todos y cada uno de los que hemos empleado para obtenerlo) y por tanto es divisible por cualquiera de ellos. Pero si le sumamos la unidad, es decir obtenemos “Q”+1 al que llamaremos SuperP=S (para los amigos), resulta que este SÍ QUE ES PRIMO (otra vez perdón), pues siempre que lo dividamos por cualquier primo igual o menor que P dará de resto 1. En resume S es mucho más grande que P que es el número primo más grande que se te había podido ocurrir. Pero resulta que, puesto que S es primo, lo mismo puedes hacer con él. Y así indefinidamente. Por tanto, como dice Neo, la serie de números primos es infinita.
    Espero haber confirmado tu pregunta. (He tenido que poner ” por el filtro.

  7. tomás:

    Pues he de discrepar de la discrepancia del sutil y sagaz D. Thriller: el que no haya algo en un lugar no implica que deba haberlo en otro.

  8. tomás:

    Querido amigo Neo:
    También discrepo absolutamente del penúltimo párrafo. Suponer una dirección similar a la nuestra en la inteligencia es, como mínimo, arriesgado. No tenemos ni idea de qué deriva habrá podido tomar un pensamiento al que podríamos calificar de inteligente si fuésemos capaces de reconocer esa inteligencia. Si estuviese alejada de nuestro existir ¿seríamos capaces de captarla?
    En una de mis manías sigo insistiendo en que no estamos haciendo nada por comprender a los delfines que han demostrado inteligencia y ni siquiera somos capaces de comunicarnos con ellos. Y los tenemos a mano.
    Un abrazo.

  9. LLuís:

    Tomás, eso de “los multiplicas hasta P”, ¿qué significa o qué representa P ?.
    Un saludo, amigo tomás.

  10. NeoFronteras:

    Sería de agradecer que baalamkan, o Andrés el neozelandés de Auckland, dejase de usar seudónimos y direcciones de email falsas. Primero porque así no volvería loco al sistema antispam y segundo porque quizás así los demás le tomemos en serio.

  11. baalamkan:

    Señor JJ, si usted tomará en serio los comentarios de los lectores de su blog y no los censurará simplemente porque no están en línea con su pensamiento no sería necesario hacerlo.

    Por lo visto, en su blog se comenta en un estilo similar a “Querido Fulano”, “Apreciado Mengano”, no es mi estilo utilizar estas formas epistolares en los comentarios de un blog. Sin embargo no por eso mis comentarios son de menor valía.

    Tomás, comentarista habitual de su blog, escribió en el post “Más sobre el olfato cuántico”, después de su ofensiva repuesta a mi comentario:

    “Querido amigo Neo, si me permites:
    Me cuesta escribir esto, pero creo que te equivocas al juzgar a Andrés y me parece que debo decirlo…”

    y posteriormente continuaba:

    “Yo te agradecería que no le cerrases las puertas. Quizá quiera decir algo, alguna vez, que merezca ser tenido en cuenta. Esta vez se ha equivocado…”

    Usted, señor JJ, bloqueó automáticamente mi dirección de correo, sin permitirme contestar ni su comentario, ni el de los demás comentaristas. Según Tomás, me equivoqué en mi comentario. Tal vez el tono, el estilo y la redacción de mi comentario no hayan sido de su agrado, pero no contradicen las normas de publicación de su blog.

    Así que espero que de ahora en adelante no bloqueé mis intentos de comentar, ya ha visto como en este post simplemente complemento la información.

  12. tomás:

    Querido amigo LLuís:
    Diría que estoy seguro que eres el antiguo lluís, luego Lluís. Creo que podría jurarlo; por el estilo. No debes andar bien de tiempo por lo escaso y breve. Sinceramente, te echo de menos. Y por ello te agradezco infinito, tan infinito como los primos que en este mundo somos -me tengo por ello, pero no me importa- que te dirijas a mí. Espero que tu vida sea agradable y que todo vaya bien. De todas formas, me extraña que no comprendas lo que digo siendo tan sencillo. Quizá has leído muy deprisa. O estés acostumbrado sólo a las altas matemáticas.
    Contesto a lo que te refieres. Digo: “Imagínate el número primo más grande que se te pueda ocurrir. Sea P”. Es evidente que P es un número primo. Si alguien tiene poca información se parará en, por ejemplo el 11; si le da a la criba algo más puede alcanzar el 53 o el 101 que yo le aseguro es primo. Cualquiera sirve. Puede tomarse P como el 11, como el 53, como el 101, etc.; simplemente el número primo más grande que se le ocurra. Sea que solo se le ocurre hasta el 11; es decir que P = 11. Entonces hará: 2x3x5x7x11 = 2310, que evidentemente no es primo “y vamos a llamarle “Q””. (Algunas cosas no son sólo para ti, sino también para Gerardo que, por la pregunta que hace, puede necesitarlo, puesto que nada menos que tú has tenido dificultad, lo cual indica que no he debido explicarme bien). “”Q” no es primo porque podemos descomponerlo en factores primos (todos y cada uno de los que hemos empleado para obtenerlo) y por tanto es divisible por cualquiera de ellos”. Pero si a “Q” = 2310 le sumamos 1, tenemos
    2311 que es SuperP es decir un número primo mucho mayor que P, al que abreviamos como S. Como digo éste ha de ser forzosamente primo puesto que siempre dará de resto 1 al dividirlo por cualquiera de los primos iguales o menores que 11. Y como esto puedo seguir repitiéndolo indefinidamente, queda demostrado que existen infinitos números primos.
    En mi calculadora logro llegar -una Casio sencilla con 12 espacios- hasta el producto 2x3x5x7x11x13x17x19x23x29x31 = 200.560.490.130, que no puede ser primo. Si le sumo 1 tengo el 200.560.490.131 que ha de ser forzosamente primo, ya que ha de dar de resto 1 con cualquiera de los primos iguales o menores que 31.
    No dudes en decirme si encuentras algún fallo en mi razonamiento y para no cansarte más ni a ti ni a Gerardo, con eso me despido de este tema concreto y te mando un muy fuerte abrazo.

  13. NeoFronteras:

    baalamkan:
    Puede usar el estilo de escritura que desee, sea “epistolar” o no. Casi lo único que se pide es el respecto a ciertas normas de cortesía y a las de participación expresadas aquí:

    http://neofronteras.com/?page_id=726

    Tampoco se tiene tolerancia a la agresividad o a la apología de las pseudociencias y similares. Se distingue perfectamente si es así. No se “censura” a nadie que siga esas normas, esté o no en contra del pensamiento del que escribe.
    Este foro no se debe convertir en lo que se han convertido otros y los posibles lectores siempre tienen libertad de ir a muchos otros sitios de Internet.

    Si desea seguir participando lo puede hacer.

  14. Dr. Thriller:

    Tomás, touché, el que no haya algo en un lugar no implica que tenga que haberlo en ninguna parte en algún momento. Tiene más chicha de lo que parece porque muchas de las cosas que pensamos que son, en realidad no lo son. Usamos “inteligencia” para definirnos en relación a otros seres, pero es posible que ni hasta seamos inteligentes, palabra sobre cuya definición en realidad hay más confusión de lo que parece.

    Dicho sea de paso, nunca entendí por qué se acepta abiertamente el anglicismo (también incorrecto a mi modo de ver) de que las mayúsculas implican “gritar”. Uno pensaba que en la ortografía occidental en alfabeto latino, el “gritar”, “chillar”, “exclamar”, venía marcado claramente por los signos de admiración, nunca vi jamás en la literatura occidental que Alonso Quijano le dijese a su buen escudero TE HAS CAGADO, SANCHO, NO MIENTAS, sino ¡te has cagado, Sancho, no mientas! (el episodio particular donde, de noche, caballero y escudero oyen unos ruidos misteriosos que Don Quijote vivamente describe como un gigante devoraescuderos tras eviscerarlos y tal y tal, y claro, el pobre hombre se le aflojan los esfínteres de pánico, de ahí la conversación, para comprobar a la mañana siguiente que era un molino de río y el ruído las palas).

    Las mayúsculas destacan visualmente, y aunque me he rendido a no usarlas (por los **), en general debería ser una alternativa válida cuando no está disponible la cursiva, negrita, etc. Tampoco pasa nada, como todas las convenciones, es arbitraria.

  15. NeoFronteras:

    Sí se puede poner texto en negrita. Basta poner las etiquetas html correspondientes. Las mayúsculas no son válidas. Incluso el filtro puede tenerlo en cuenta.

  16. tomás:

    Puse “perdon por gritar” porque creo recordar que una vez Neo dijo que poner mayúsculas era una forma de gritar. Mi intención era resaltar y dar un poco de amenidad a un texto largo y árido, aunque creo que muy sencillo. Pero no debí conseguir que fuera sencillo. Lo siento.

  17. LLuís:

    Sí,tomás, soy el mísmo, ahora aparece mi nombre en mayúscula no sé muy bien porque.Quizás tuve algún problema y al solventarlo lo puese con mayúscula.Pero veo que conoces mi estilo. Y debo pedirte disculpas.No te equivocas,leí tu comentario tan rápidamente que me paso inadvertido el párrafo que dice ” imagínate el número primo más grande que se te pueda ocurrir”, y al saltarme eso, me fui directo a “Sea P”. Resultaba, de este modo, que “sea P” carecia de todo sentido. Ahora si se entiende perfectamente tu razonamiento (leyendo bien tu comentario). En realidad es que hago demasiadas cosas al mismo tiempo, y no concentro demasiado la atención en único asunto.Es un fallo mio.
    Y esto es todo por ahora, amigo tomás. Un fuerte abrazo.

  18. Pepe:

    ¿El 63 es un número primo?

  19. NeoFronteras:

    No todo número de Mersenne es primo.

  20. tomás:

    Pero hombre, Pepe ¿como va a ser primo el 63? ¿No será una broma? ¿Acaso no ves en menos de un segundo que es divisible por 3? Un poco más y te das cuenta de que puede descomponerse en 7x3x3.
    Saludos desesperados.

  21. Miguel Ángel:

    Querido amigo tomás:

    Podemos apllicar esa regla que dice que si la suma de los dígitos de un número es divisible entre 3, el número completo también será divisible entre 3. En el caso que menciona Pepe 6+3=9, 9 es divisible entre 3 y 63 también; para 156, 1+5+6=12 (12 es divisible entre 3 y 156 también).

    Abrazos.

  22. tomás:

    Querido amigo Miguel Ángel:
    Hace no menos de 20 años, ideé una modificación del juego del ajedrez, pero respetando absolutamente todas sus reglas, para hacerlo ameno a los niños. Como fue un éxito fabuloso -se divertían lo indecible y aprendían ajedrez- entre los hijos de los vecinos me las ingenié con algún truco para registrarlo en la “Propiedad intelectual” como si fuera un libro. Y se me ocurrió ofrecerlo a TV, para lo cual quise saber cuantos programas podrían salir sin que se repitiera la cosa. Sucedió que en el cálculo llegué a una fórmula que es 2^(n-1) – 1 = múltiplo de n. Y rápidamente me di cuenta de que eso tendría mucho que ver con los números primos. Así que hice 2^(p-1) -1 = múltiplo de p, siendo p primo. También me di cuenta de que era mucho mejor que la fórmula de Wilson: (P-1)!+1 = múltiplo de P, por el hecho de que 2^n es mucho menor que n!. Y así, no tardando, sospeche que tenía que ver con los congruentes de Fermat; pero durante mucho tiempo no tuve un ratito para ponerme a verificarlo. Así que durante unos días me tuve por creador de una nueva fórmula, porque logré comprobar la “primacía” no sé muy bien si hasta el 101, con artimañas en mi calculadora (vamos, a lo bestia), cosa realmente imposible con la fórmula de Wilson.
    Lo malo es que esta fórmula, a veces, funciona con números no primos. Un desengaño.

    Y volviendo a tu “regla de tres” para nuestro “inquisidor” Pepe, también podía haberse dado cuenta antes con el 15.

    Un fuerte abrazo.

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