Nuevo récord en primo de Mersenne
Descubren el primo más grande hasta la fecha: el primo de Mersenne M82589933.
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El proyecto Great Internet Mersenne Prime Search (GIMPS) anunció ayer el descubrimiento, el pasado 21 de diciembre, del primo de Mersenne número 51, casi un año después de que se anunciara el anterior. Esta organización ha descubierto ya numerosos primos de este tipo con el método de computación distribuida.
Los números de Mersenne son del tipo Mn = 2n – 1 siendo los primeros 1, 3, 7, 15, 31, 63, 127, … Toman el nombre de Marin Mersenne (1588-1648), monje y matemático originario de Francia, quien propuso una conjetura para los valores que tendría que tener el exponente “n” para que el resultado fuera primo.
La definición de estos números permite saber que un número de Mersenne es una cadena de n unos cuando se escribe en binario (base 2). Así, por ejemplo, M7 = 27 – 1 = 127 = 11111112 es un número de Mersenne. Esta propiedad permite implementar cálculos con números de Mersenne en los computadores de manera más sencilla. No todos los primos son primos de Mersenne, pero, como éstos se pueden implementar fácilmente en un programa de ordenador, los mayores primos conocidos son de Mersenne.
Si n es menor o igual a 7 entonces Mn es primo, pero después no es así necesariamente. Los primos de Mersenne son números de Mersenne que además son primos, es decir, divisibles sólo por ellos mismos y por la unidad. El primo de Mersenne número cuatro de esta lista es precisamente el ejemplo anterior. Y el primo de Mersennen recientemente descubierto expresado en notación decimal consta de 24 862 048 dígitos. Es, en concreto, el siguiente número:
282589933 – 1
No se sabe cómo se distribuyen los primos de Mersenne. El nuevo caso podría significar que este tipo de primos aparecen más frecuentemente de lo que se creía o no.
Los mayores primos de Mersenne, incluyendo este último, han sido descubiertos gracias al proyecto internacional GIMPS (Great Internet Mersenne Prime Search) basado en computación distribuida, y que usa los PC de voluntarios a lo largo de todo el mundo al estilo del Seti at home. Con cientos de miles de CPUs calculando picos de cientos de billones de operaciones por segundo, el GIMPS es el proyecto colaborativo más grande funcionando de manera ininterrumpida.
A veces hay premios en metálico de distinta cuantía para este tipo de descubrimientos. En este caso, Patrick Laroche (35 años, Ocala, Florida) es el nuevo afortunado del proyecto GIMPS y recibirá los 3000 dólares de premio. Su ordenador encontró este nuevo primo el pasado 7 de diciembre de 2018. Durante este tiempo se ha verificad que, efectivamente, se trataba de un nuevo primo de Mersenne.
Todo aquel que lo desee puede descargarse el programa y probar suerte.
Aunque hay infinitos primos e infinitos primos de este tipo, las posibilidades de encontrarlos se reducen conforme aumenta su tamaño por limitaciones computacionales. Es curioso que podamos demostrar que hay infinitos números primos cada vez más espaciados en el conjunto de los reales, pero que sólo podemos conocer unos pocos de ellos y sólo a través de un laborioso trabajo.
Aunque este descubrimiento es anecdótico, el simple hecho de descubrir un primo de Mersenne más es similar a descubrir una isla desconocida, una nueva especie animal o un planeta extrasolar. Tiene valor en sí mismo, el valor intrínseco de algo hermoso. La belleza de lo nuevo, y antes desconocido, que, simplemente, satisface nuestra curiosidad.
No sabemos todavía si hay o no planetas como la Tierra y aún así los buscamos. Si hay quizás algunos tengan vida. Nunca los podremos visitar y casi ninguno (si es que los hay) albergará vida inteligente. Pero si hay otras civilizaciones conocerán los primos de Mersenne y gastarán su tiempo y energía en descubrirlos al igual que hacemos nosotros. Incluso otros entes pensantes que habiten otros hipotéticos universos también lo harán. Estos números habitan otro espacio, un espacio abstracto accesible sólo a través de mentes inquietas que tienen curiosidad. Una curiosidad que los haría humanos e inteligentes y les permitiría, eventualmente, comunicarse con otros seres igualmente inteligentes y curiosos empleando un lenguaje trasuniversal basado en las Matemáticas.
La ameba, el gusano o las cucarachas (y algún humano terrestre) sólo se mueven por utilitarismo y carecen de curiosidad. La pregunta “¿y eso para qué sirve?” siempre califica al que la emite como un ignorante que no sabe ni quiere cambiar su condición.
Copyleft: atribuir con enlace a http://neofronteras.com/?p=5920
Fuentes y referencias:
Notas de prensa.
Hallan el primo de Mersenne número 44.
Hallan los primos de Mersenne números 45 y 46.
Otro primo de Mersenne.
Nueva plusmarca en números primos.
Foto: Mauricio Zapata.
17 Comentarios
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viernes 28 diciembre, 2018 @ 5:39 pm
Ah, mi frase favorita. No debemos subestimarla, aplicada donde no se espera puede ser devastadora. En realidad, el uso del que se queja Neo es doblemente ignorante, porque la gente que la usa con el propósito denunciado, nunca hace la siguiente pregunta que sería lógica tras esa, «¿y cuánto cuesta?». Sólo la usan, efectivamente, para descalificar. Porque la respuesta a la segunda (inducida por lógica) pregunta, si la hicieran, sería «cuesta mucho (muchísimo) menos que permanecer ignorantes al respecto».
Y en cuanto a que no tengan aplicación, eso es algo que el tiempo dirá. La aplicación que tendrá, que la tendrá seguro. Es como la ley de Zipf(-Estoup-Auerbach), o mejor aún, la ley de Benford(-Newcomb), que de estupenda curiosidad ha servido, p.ej., para desarrollar algoritmos de detección de contabilidades falsificadas, o datos científicos ídem, ya puestos, o hasta computaciones del genoma. ¿Para qué valía? Mira tú.
Esa es otra. Mientras se tiene el conocimiento puro, sin aplicación, es como la isla descubierta virgen. Una vez «hollada» ya nunca vuelve a ser lo mismo, y el privilegio de ese momento sólo lo tienen los contemporáneos de esa brevedad. Vale siempre, entonces, es una inversión que paga desde el primer instante.
sábado 29 diciembre, 2018 @ 12:19 pm
Cuando empleamos la palabra y el concepto de «civilización» nos estamos refiriendo, más que al habitante de una ciudad, a una sociedad compuesta por individuos pensantes o, quizá a una sociedad que, en su conjunto, piensa. En cierto modo nosotros, los humanos, somos una mezcla de ello: pensamos como individuos y pensamos como sociedad.
Estoy de acuerdo con el último párrafo de Neo y con la extensión de Dr., pero no con que otras civilizaciones conocerán los primos… etc. No tenemos ni la más remota idea de cuales serán los caminos por los que les lleven sus pensamientos, ni cuales serán sus sentidos. Sin ir más lejos, hace menos de diez mil años el Homo sapiens, solo empezaba a sentir la necesidad de medir en contados lugares privilegiados de la Tierra. Y alguna sociedad, aún ahora creo que no tiene noción del tiempo ni saben contar. En resumen que la imaginación, el deseo de descubrir, la ilusión, pueden engañarnos, lo cual podemos comprobar en nuestro planeta. Ningún otro animal social ha iniciado nuestro camino; y no puede haber otro planeta más parecido a la Tierra que la Tierra misma.
Un abrazo.
domingo 30 diciembre, 2018 @ 12:28 am
Buena ocasión para que expongas tu conjetura sobre números primos, querido Tomás.
Abrazos.
domingo 30 diciembre, 2018 @ 12:50 pm
Ya tenía escrita una buena parte de mi comentario cuando, por aquello de las casualidades he debido dar a alguna tecla que manda al ordenador leer lo escrito. Y como no sabía ni sé pararlo, he tecleado hasta callarlo, pero se ha borrado lo escrito. EL caso es, querido Miguel, que ya ni recordaba qué podía ser lo que me nombras, pero he echado un vistazo a un librito que tengo sobre primos y he encontrado dos papelitos informes en uno de los cuales hay un dibujo que consta de cuatro piezas, una de las cuales parece una válvula y de las otras no tengo la más remota idea de su propósito. Al pie pone: «Infrarrojos para la cabeza». Incapaz soy de recordar la finalidad. En el otro hay unos diagramas de Venn y lo que parece ser la conjetura a la que te refieres. No está escrita, pero se deduce de los ejemplos. Vengo a proponer que todo número par puede obtenerse por la diferencia de dos primos. Lo que no sé es si esto es deducible de la conjetura de Goldbach. Además está Neo que me prohíbe salir en TV y eso es para mí como una orden de mi padre, que mucho de padre intelectual tiene Neo, y más que tendrá con el tiempo.
Bueno el caso es que en el segundo papelito pongo los primeros ejemplos: 2=5-3, 4=7-3, 6=11-5, 8=11-3, 10=17-7, 12=17-5, 14=19-5, 16=19-3, 18=23-5, 20=23-3, 22=29-7, etc. Y ahí acaba el papelito. Pero, con el fin de apoyar la cosa voy a tomar unos números al azar; los primeros que se me ocurran: 1442=1447-5 (el 1447 lo he tomado de una tabla, como haré con todos los «grandecitos»); 2002=2039-37 (este me ha costado un poco más); 3420=3433-13; 4828=4441-13; 5848=5851-3; 6016=6029-13; 7778=7789-11; 8944=8751-7 (Ya me canso. Voy a poner tres de una cifra más y lo dejo):13412=13417-5; 66666=66683-7; 98122=98129-7.
Bueno, como ejemplos ya vale. Si me proponéis uno que no sea muy alto procuraré satisfaceros. A lo mejor todo esto es una solemne tontería, pero sirve para pensar. Ya sé que miles de ejemplos no demuestran nada, pero dan para sospechar.
Gracias, Miguel por tu buena memoria. Un abrazo fuerte y lo mismo para todos.
domingo 30 diciembre, 2018 @ 12:55 pm
Perdón. En el 66666 se me ha escapado el uno del 17. Es 66666=66683-17.
Lo siento.
domingo 30 diciembre, 2018 @ 10:18 pm
Tomás, en la tele nunca es recomendable salir. Calentar la cabeza pues ya es más complicado de evaluar, si vas a parir las leyes de Kepler sin duda vale la pena aunque tenga que reventarle la próstata a Tycho Brahe (o lo que fuera que se disfuncionó, hombre, mejor que no, pero si está de ser, pues sea con las leyes), si vas a parir un sainete tragicómico de política hispanistana, apaga la lámpara de IR.
Respecto a tu conjetura, la resta de dos primos (mayores a 2) es siempre un número par, porque todos son impares. Queda por probar que siempre hay dos primos cuya diferencia da ese par, no tengo ni idea si esto es trivial o no, pero debe serlo porque no me suena ninguna conjetura formulada como la tuya.
Tuve un profe de mates con el que me reí mucho, nunca por su causa directamente, por ejemplo en un examen que había que convertir una integral triple en doble (y que no fui capaz de resolver porque el recinto era una pesadilla), me reí un montón a la puerta del aula hablando con un compañero que decía que era facilísima y que a diferencia de todos los demás, que no supimos, él la resolvió haciendo una burrada monumental, la risotada fue tan escandalosa que el susodicho salió a la puerta y nos espetó a todos «ya veo que no lesh impoggta suspendegg la asinnatugga». Pues un poco por curiosidad y un poco por hacer la pelota, un día se me ocurrió preguntarle por qué la suma de la sucesión de impares va dando los cuadrados de los naturales (1+3=4, 1+3+5=9 and so on), que precisamente había descubierto en una de sus soporíferas clases donde nos contaba que sufría bucho, y estaba (yo) muy contento y tenía curiosidad, y me contestó algo así como «no tengo ni p. idea», dijo algo más zafio y más elaborado, pero vamos, venía siendo eso.
Fue vicedecano de no sé qué, o decano, no sé. Se presentó a rector y sacó el 2% o algo así. No me hagas mucho caso. Además, para la parte de estadística nos mandó durante un par de meses a una adosada a auxiliar que hablaba tal cual una intoxicación por barbitúricos, y que a fin de curso se largaba a enseñanzas medias porque cobraba más y la iban a tratar mejor. Tampoco me contestó a mis preguntas y esta vez sí guardaban relación con la materia.
Hay profesorado que marca. Otro día el de topología.
lunes 31 diciembre, 2018 @ 11:04 am
A tu primer párrafo he de contestar que he renunciado a salir en la tele para dar las campanadas esta noche, por el veto de Neo, y eso que me pagaban una millonada, y porque tenía que darlas sin campana, o sea, de viva voz porque el ayuntamiento no tenía dinero ni para una de juguete -advertí la incongruencia y sospeché que no iba a cobrar-. (Bueno, es una broma tonta, que para eso estamos en hoy -o estoy-). En cuanto a lo de IR, prefiero VENIR, porque, como dice Mota «ir pa na es tontería». Una vez dichas las tonterías de rigor, continúo.
Respecto al 2º párrafo, por eso es una conjetura. Claro, claro que la diferencia de dos impares es siempre par, pero queda por probar que un par determinado sea diferencia de dos primos. También a la conjetura de Goldbach le falta eso: «Todo par es suma de dos primos». Pero cualquier par es suma de dos impares. En un paralelo a Goldbach de lo que dices: «queda por probar que siempre hay dos primos cuya suma da ese par». Tampoco yo sé si lo que digo es trivial, de cajón, bobada, consecuencia de Goldbach o cualquier otra cosa. Sencillamente, no lo sé ni me he parado a pensarlo más de unos minutejos.
En cuanto a tu -no sé si llamarlo conjetura porque quizá pueda probarse mediante inducción completa o de cualquier otra forma-, es de esas cosas que piensas o envidias sin maldad: ¿cómo no se me habrá ocurrido a mí?. Si te fijas -seguro que te habrás dado cuenta-, el cuadrado corresponde al del término medio. Por ejemplo: 1+3+5=9, es 9=3^2; y en el caso de que el medio sea par, también: 1+3+5+7=16, 16=4^2, siendo 4 el término medio entre el 3 y el 5.
Un fuerte abrazo
jueves 3 enero, 2019 @ 1:54 pm
Me tenéis que perdonar, al menos un poco. Dije que daría la solución a mi problema el día 1-1-19, pero estaba sin ganas por aquello del primer día del año nuevo, consecuencia directa de la noche del último del año viejo.
Tenía, el día 2, casi todo escrito, incluso lo que se refería al problema de Dr. cuando me llamó Miguel Ángel y, durante la conversación, larga, la pantalla se apagó. La quise recuperar y lo hice, pero lo escrito había desaparecido. Como era ya hora de comer lo dejé y por la tarde no suelo meterme en nuestro NeoFronteras, así que lo dejé para hoy.
Sé que me arriesgo a que Dr. -y quizá alguno más- me ataque como en otros tiempos y otros problemas ha sucedido. Pero da lo mismo. Para empezar vuelvo a reconocer que la solución de Dr., planteado como al principio, es estupenda y voy a exponer la mía con tres salidas de cada punto de suministro, una para cada casa. Sean las casas A, B, C, situadas en línea para mejor describir; sean los puntos E (electricidad) frente a A, H (agua) frente a B, y G (gas) frente a C. De E parten sin problemas tres tuberías, una a cada casa, directamente; sin rodeos. De H salen, por la izquierda de E, rodeándolo, por ejemplo, otras tres tuberías, una a cada casa. De G sale una tubería que, pasando entre H y E, llega a A; otra va directamente a C sin problemas, pero cuando queremos acceder de G a B, nos encontramos con el problema: si fueran líneas como supuso Albert, no habría solución, pero como son tuberías, puedo embutir la que llega de C en la que va de H a C durante el tramo que me apetezca; incluso mínimo, engrosando la exterior para que mantenga el caudal. En resumen, lo que realmente hago es convertir un salto en una inclusión, por lo que puedo hacerlo en un plano. Espero vuestras críticas tan feas como os apetezca.
En cuanto al problema de Dr. He pensado la demostración, como supuse, mediante inducción completa:
1º Establecemos una correspondencia entre los impares y los números enteros: 1,3,5,7,…,(2n-1) se corresponden con 1,2,3,4…n y nos damos cuenta (bueno, se da cuenta Dr.) de que 1+3+5+7+…+(2n-1) da un cuadrado siempre, y yo añado que ese cuadrado es n^2 (creo recordar, que no quiero cambiar, no cosa se me borre como ayer).
Ahora comprobamos que se cumple para el término primero, que es el 1: 1º->1^2=1.
Ahora voy a poner un ejemplo de lo que pretendo hacer: Sea que se cumple para uno cualquiera: 1+3+5+7=1+3+5+(2×4-1)=4^2 puesto que son cuatro términos (4º de la serie natural).
Habrá de cumplirse para el siguiente 1+3+5+7+(2×5-1)=5^2; (puesto que 2×5-1=2(5-1)+1=2×4+1, ya que, como antes, (5º de la serie natural).
Y ya nos metemos en hacerlo general, para cualquier n:
1+3+5+7+…+(2n-1)=n^2 correspondiendo con 1º,2º,3º,4º,…,nº.
Sea que lo suponemos verdadero. Veamos si, a partir de ahí, sucede que para el siguiente, es cierto:
[1+3+5+7+…+(2n-1)]+[2(n+1)-1]=(n+1)^2, que se corresponde con 1º,2º,3º,4º,…,nº, (n+1)º.
Como ya se ha visto [1…(2n-1)]=n^2, basta que, sustituyendo:
n^2 + [(2(n+1)-1] = n^2+2n+2-1 = n^2+1+2n = (n+1)^2, por aquello del binomio de Newton; c.q.d.
Espero no haber metido la pata en algún paso, como suele ser corriente en mí. También porque la cosa es trivial y espero no enfadar a Dr. ni a nadie con cosa tan elemental.
Abrazos generales.
jueves 3 enero, 2019 @ 10:11 pm
Acabo de cargarme mi perorata yo también. Mejor, así resumo. Primero, yo no enfado, es imposible que pase en cualquier caso a través de esta forma de comunicación. Otra cosa es que se me vaya la pinza, y eso pueda ser interpretado así, pero es porque no puede verse al generador de paridas en vivo y en directo.
Respecto al descubrimiento, pues podría decir que soy una persona muy brillante (sobre todo si me caigo a un tanque de tintura fosforescente) y que mi sólida base matemática fue crucial para el hallazgo, lo cual sería una tamaña inexactitud falsaria y farsante rayana en la mejor escuela del cantamañanismo hispanistano de la impostura cum laude. La verdad verdadera es que estaba haciendo el imbécil pintando tonterías en un papel (si Herr Faber, sr.obrero, levantara la cabeza), algo que fue mi pasión durante todos los años que estuve sentado en pupitres o similares, y pintaba de todo, para el caso, pues precisamente andaba enredado en una especie de grafos sui generis estilo los de Albert, intentando buscar una solución general a un juego bastante estúpido llamado coles de Bruselas (con nulo resultado).
La operativa debió ser así: pones un punto, y luego le añades tres más haciendo una L entre ellos de tal forma que construyes un cuadrado (los puntos son los vértices). Si añades cinco más (haciendo otra L, cada brazo ahora de tres puntos en vez de dos), tienes un nuevo cuadrado de 3 x 3 puntos (ya estás en 1+3+5). La siguiente L tiene que ser de 7 puntos, y muy tertuliano tienes que ser para no darte cuenta que estás haciendo la suma de la sucesión de los impares, precisamente de una de las fórmulas de la suma sale la curiosidad que señalas.
Claro, la curiosidad del asunto está en el hecho en sí de que la sucesión de los impares agrega el cuadrado de los naturales, lo de los dibujitos lo omití en la pregunta-pelotilleo para no parecer más idiota de lo estrictamente necesario. Pensaba que sería algo obvio de teoría de números o algo así. Después leí libros de divulgación donde comentaban todo esto con más curiosidades, digamos así, gráficas (o geométricas), pero no encontré ninguna información adicional nunca, en el sentido de esto es una propiedad tal que se deduce de cual etc.
Lo que has hecho no le veo ningún fallo. No debería haberlo (yo me hubiera complicado la vida mucho más).
viernes 4 enero, 2019 @ 10:15 am
Pues no sabes cuanto te lo agradezco, porque me temía un rapapolvo. ¡Feliz de mí!
viernes 4 enero, 2019 @ 10:18 am
Tomaré el silencio de Albert como comprensivo conmigo. Así, mi felicidad será completa.
domingo 6 enero, 2019 @ 12:05 pm
Dr.: No me entretuve al leer tu comentario en la cosa de las «L»s, aunque me lo creí sin más. Pero ahora acabo de hacerlo y es una «demostración» muy intuitiva. Yo usé algo muy similar para enseñarle a un muchachito con muy pocas luces el teorema de Pitágoras. Para mayor confianza llamábamos «Pitagorín» al clásico. Me lo trajo su madre porque en la vecindad le habían dicho que yo daba clases a chicos de poco coeficiente gratis. Y así era. Tuve entre 3 y 4. Bueno, la clave, que conocerás, es poner un cuadrado en cada lado del triángulo rectángulo, por ejemplo con el más sencillo 3,4 y 5 cm y luego basta contar los cuadraditos. Ello les convencía y les servía de demostración. Lo peor era que una de las niñas, quizá la de mayor edad, tenía una memoria que no le duraba más de unos minutos -una hora sería excesivo- y al día siguiente no lo recordaba. Ella había sido mi primera alumna, porque en el cole, era amiga de mi hija menor. La mayor gratificación que tuve fue verla, años más tarde, trabajando en un centro de la Seguridad Social en Información para, cuando alguien le solicitaba una dirección, indicarle una ventanilla; si no acertaba, en esa ventanilla la redirigían. Algo es algo.
En fin, cosas de la vida y enhorabuena por tu «demostración».
lunes 7 enero, 2019 @ 5:17 pm
Otro hecho notable respecto a los números primos de Mersenne es que todos los que se han hallado hasta la fecha son números perfectos, números que como es sabido no son números que coincidan con el premio gordo de lotería que uno pueda tener, sino que son aquellos, cuya suma de sus divisores propios, exceptuado el propio número, nos dan el propio número perfecto. Los números perfecto tienen también su buena dosis de ‘misterio’ ya que todos los que se conocen son pares y nadie sabe si son infinitos o si hay algún perfecto impar.
Precisamente, es el teorema de Euclídes- Euler el que nos dice que todo número perfecto par corresponde a un número primo de Mersenne.
La belleza de las matemáticas es tanta que acaso sea la única belleza concebible, todo lo demás perece,incluso las más extraordinarias obras de arte, catedrales, o naturaleza en general.
martes 8 enero, 2019 @ 12:54 pm
Es que lo de belleza es algo muy relativo, especialmente dependiente del individuo que ha de admirarla. Habrás de reconocer que para muchas personas las mates son un fenomenal dolor de cabeza. Otros serán capaces de admirar obras de la naturaleza pero no podrán comprender que, en muchas de ellas, las matemáticas tienen mucho que decir.
Un abrazo.
martes 8 enero, 2019 @ 4:59 pm
Sí, tomás; para muchas personas son un fenomenal dolor de cabeza. Pero diría que ese dolor de cabeza es debido a que no las entienden y ello muy probablemente porque no encuentran la persona adecuada que se las haga lo suficientemente comprensibles y atractivas para captar su profunda belleza. He conocido a más de una persona que confesó que gracias a determinado profesor acabó entendiendo y disfrutando las mates, cuando anteriormente las odiaba. Hay muchos casos así.
Otro abrazo para ti, amigo.
miércoles 9 enero, 2019 @ 11:58 am
Totalmente de acuerdo. Depende del maestro, sobre todo en la infancia, que una materia sea acogida con placer o con disgusto, aunque hay que reconocer que las que precisan mayor abstracción son las menos afortunadas. Fíjate que las ciencias de la naturaleza «superficial» -no cuando se meten en profundidades que (por decir algo) pretenden meter en una dura cabezota, por ejemplo, las reacciones que se dan en la fotosíntesis-; digo naturaleza superficial al referirme a cómo los críos y no tan críos la gozan con los dinosaurios o también con los animales de bosques y selvas -observa que más que con plantas, que suelen desconocerse-. Que todo es bueno, pero los bichos tienen la fortuna de que se ven sin más y además se mueven. Aún así ya sabemos que la evolución, algo tan evidente como la gravedad -lo digo emulando a Neo- tiene enfrente a la Iglesia y pienso que a todas o casi todas las religiones y al dólar USA.
Sabemos que hasta no hace tanto -menos de un siglo- a negros y a mujeres -a estas mucho menos duramente- no era recomendable permitirles aprender a leer. Será que la ignorancia de las gentes sirve al poder. Incluso ahora, parece ser que un buen currículo es perjudicial para un trabajo mal pagado.
Bueno, me he ido del tema. Pero he de reconocer que también con la edad se pierden facultades. Ahora me estoy metiendo con la geometría y, lo que antes me parecía sencillo, ahora me cuesta.
¡Qué se le va a hacer!
domingo 27 enero, 2019 @ 10:51 am
Hola Lluís. No creo que te alcance a contestarme en este artículo, pero podrías hacerlo en el dedicado a inteligencia artificial. Es que no comprendo que quieres decir en tu comentario 13: «…todo número perfecto par corresponde a un número primo de Mersenne».