Dos resultados sobre números primos nos acercan a la demostración de conjeturas famosas.
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Todos aprendimos de pequeños que los números primos son aquellos que sólo son divisibles por ellos mismos y por la unidad. Además, según el convenio acordado por los matemáticos, el 1 no es primo. Además sabemos desde la Grecia clásica que hay infinitos números primos.
Hay muchos aspectos interesantes en el tema de los números primos. Uno de ellos es que son los números fundamentales, pues cualquier otro número se puede generar a partir del producto de un conjunto de números primos. También es complicado generar números primos muy grandes, entre otras cosas porque, según avanzamos a lo largo de la secuencia de números enteros, los primos son cada vez más escasos y dispersos. Pero de vez en cuando se da lo que se llaman “primos gemelos”, dos primos que se diferencian solamente en dos unidades. Por ejemplo, 17 y 19 son primos gemelos. También lo son 2003663613 × 2195000 − 1 y 2003663613 × 2195000 + 1, que son números bastante grandes. Ahora viene la pregunta interesante: dado que los primos son cada vez más dispersos, ¿habrá cada vez menos primos gemelos hasta que desaparezcan por completo? Es decir, ¿hay infinitos primos gemelos?
Este tipo de preguntas se puede formular de una manera sencilla, pero suelen ser difíciles de contestar.
Cuando en Matemáticas se consigue demostrar algo a partir de unos axiomas se tiene un teorema, pero, mientras tanto, sólo es una conjetura, por muchos que se sospeche que es cierta. La conjetura de los primos gemelos ha estado en los libros de Matemáticas durante muchísimo tiempo, se cree que desde Euclides. Ahora, Yi Tang Zhang (Universidad de New Hampshire) dice haber encontrado una respuesta parcial. Su artículo ha sido aceptado en Annals of Mathematics y fue presentado recientemente en un seminario en la Universidad de Harvard (no hay artículo disponible aún).
Según él hay infinitos primos que están a menos de 70 millones de unidades. Quizás pueda parecer un modesto avance, pero la distancia de 2 a 70 millones no parece tan grande. Habrá que esperar confirmación por parte de la comunidad matemática, pues este tipo de demostraciones son muy difíciles y se puede deslizar algún error que de al traste con la demostración. De momento la demostración está gustando a los matemáticos que la han podido analizar.
Otro asunto del tema de los primos es el de la conjetura de Goldbach. Esta conjetura es famosa porque es una consecuencia de la hipótesis de Riemann (esta hipótesis, o más bien conjetura, mantiene que los ceros no triviales de la función ζ de Riemann tienen parte real igual a 1/2), que fue incluida entre los famosos 23 problemas que propuso Hilbert a principios del siglo XX con el número 8.
La conjetura fuerte de Goldbach dice que todo número par mayor que 2 es igual a la suma de dos números primos. Aunque en los últimos años se ha avanzado en su demostración no se ha conseguido todavía. Sin embargo, en los últimos días ha aparecido una demostración de la conjetura débil de Goldbach. Esta conjetura, también llamada “conjetura ternaria de Goldbach”, dice que todo número impar mayor que 5 es suma de tres números primos de tal modo que pueda repetirse alguno. Por ejemplo 35 = 19 + 13 + 3 o bien 77 = 53 + 13 + 11. El autor de la demostración es Harald Andrés Helfgott (CNRS/École Normale Supérieure).
Uno podría pensar que si se ha demostrado ya la versión débil entonces no será difícil conseguir demostrar la “fuerte”. Desgraciadamente las técnicas matemáticas usadas en esta demostración no parecen ser efectivas cuando se trata de aplicarlas al caso fuerte.
De todos modos, como en el caso anterior, habrá que esperar que se confirme esta demostración.
Una vez más hay que recordar que este tipo de resultados, conjeturas y teoremas serán tan válidos aquí como en una galaxia lejana o en otro universo. Forman parte del descubrimiento humano tanto como el Higgs o un exoplaneta lejano.
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Fuentes y referencias:
Artículo de Helfgott I. [2]
Artículo de Helfgott II. [3]
Gráfico: California State University, Los Angeles.