NeoFronteras

Avances en teoría de números

Área: Matemáticas — Lunes, 20 de Mayo de 2013

Dos resultados sobre números primos nos acercan a la demostración de conjeturas famosas.

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La función Π contabiliza los primos:.

Todos aprendimos de pequeños que los números primos son aquellos que sólo son divisibles por ellos mismos y por la unidad. Además, según el convenio acordado por los matemáticos, el 1 no es primo. Además sabemos desde la Grecia clásica que hay infinitos números primos.
Hay muchos aspectos interesantes en el tema de los números primos. Uno de ellos es que son los números fundamentales, pues cualquier otro número se puede generar a partir del producto de un conjunto de números primos. También es complicado generar números primos muy grandes, entre otras cosas porque, según avanzamos a lo largo de la secuencia de números enteros, los primos son cada vez más escasos y dispersos. Pero de vez en cuando se da lo que se llaman “primos gemelos”, dos primos que se diferencian solamente en dos unidades. Por ejemplo, 17 y 19 son primos gemelos. También lo son 2003663613 × 2195000 − 1 y 2003663613 × 2195000 + 1, que son números bastante grandes. Ahora viene la pregunta interesante: dado que los primos son cada vez más dispersos, ¿habrá cada vez menos primos gemelos hasta que desaparezcan por completo? Es decir, ¿hay infinitos primos gemelos?
Este tipo de preguntas se puede formular de una manera sencilla, pero suelen ser difíciles de contestar.
Cuando en Matemáticas se consigue demostrar algo a partir de unos axiomas se tiene un teorema, pero, mientras tanto, sólo es una conjetura, por muchos que se sospeche que es cierta. La conjetura de los primos gemelos ha estado en los libros de Matemáticas durante muchísimo tiempo, se cree que desde Euclides. Ahora, Yi Tang Zhang (Universidad de New Hampshire) dice haber encontrado una respuesta parcial. Su artículo ha sido aceptado en Annals of Mathematics y fue presentado recientemente en un seminario en la Universidad de Harvard (no hay artículo disponible aún).
Según él hay infinitos primos que están a menos de 70 millones de unidades. Quizás pueda parecer un modesto avance, pero la distancia de 2 a 70 millones no parece tan grande. Habrá que esperar confirmación por parte de la comunidad matemática, pues este tipo de demostraciones son muy difíciles y se puede deslizar algún error que de al traste con la demostración. De momento la demostración está gustando a los matemáticos que la han podido analizar.

Otro asunto del tema de los primos es el de la conjetura de Goldbach. Esta conjetura es famosa porque es una consecuencia de la hipótesis de Riemann (esta hipótesis, o más bien conjetura, mantiene que los ceros no triviales de la función ζ de Riemann tienen parte real igual a 1/2), que fue incluida entre los famosos 23 problemas que propuso Hilbert a principios del siglo XX con el número 8.
La conjetura fuerte de Goldbach dice que todo número par mayor que 2 es igual a la suma de dos números primos. Aunque en los últimos años se ha avanzado en su demostración no se ha conseguido todavía. Sin embargo, en los últimos días ha aparecido una demostración de la conjetura débil de Goldbach. Esta conjetura, también llamada “conjetura ternaria de Goldbach”, dice que todo número impar mayor que 5 es suma de tres números primos de tal modo que pueda repetirse alguno. Por ejemplo 35 = 19 + 13 + 3 o bien 77 = 53 + 13 + 11. El autor de la demostración es Harald Andrés Helfgott (CNRS/École Normale Supérieure).
Uno podría pensar que si se ha demostrado ya la versión débil entonces no será difícil conseguir demostrar la “fuerte”. Desgraciadamente las técnicas matemáticas usadas en esta demostración no parecen ser efectivas cuando se trata de aplicarlas al caso fuerte.
De todos modos, como en el caso anterior, habrá que esperar que se confirme esta demostración.
Una vez más hay que recordar que este tipo de resultados, conjeturas y teoremas serán tan válidos aquí como en una galaxia lejana o en otro universo. Forman parte del descubrimiento humano tanto como el Higgs o un exoplaneta lejano.

Copyleft: atribuir con enlace a http://neofronteras.com/?p=4108

Fuentes y referencias:
Artículo de Helfgott I.
Artículo de Helfgott II.
Gráfico: California State University, Los Angeles.

Salvo que se exprese lo contrario esta obra está bajo una licencia Creative Commons.
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13 Comentarios

  1. Omar:

    La siguiente afirmación es falsa:

    <>

    En realidad la diferencia entre primos gemelos es de 2 unidades: 19 – 17 = 2.

  2. NeoFronteras:

    Sí, obviamente era una errata, no puede ser una unidad porque entonces uno de ellos sería par y, por tanto, divisible por dos.

  3. tomás:

    Aunque sólo sea por incordiar a Omar, pero con todo el respeto que con seguridad merece, 3-2 = 1.
    Un abrazo.

  4. LLuís:

    La conjetura “débil” de Goldabach, creo que dice que todo número impar mayor que 7 (en la nota dice 5)puede escribirse como la suma de tres números impares.Aunque ahora mismo dudo si realmente ya es correcto “mayor que 5″.
    Por otro lado no sé, más bien diría que no, si alguna vez se va a poder demostrar la conjetura “fuerte”,pues o bien se echa por tierra tal conjetura encontrando un contraejemplo o por mucha potencia computacional que tengamos no podremos acabar demostrando la versión “fuerte”, al no poderse llegar al “final” de los números.

  5. tomás:

    Querido amigo LLuís:
    Yo no creo que el camino sea la potencia computacional por el problema que expones de no poder alcanzar un final, sino la inducción, la reducción al absurdo o cualquier otro método que salve esa dificultad.
    Un gran abrazo, que ya tenía ganas de “charlar” contigo.

  6. LLuís:

    Hola tomás,es cierto hace tiempo que no “charlamos”.Bueno, a ver si un día encontramos un tema que nos conduzca a algun tema que sea debatible o argumentable, como ya nos ocurrió en alguna ocasión y bien que nos lo pasamos. Respecto a lo que dices (reducción al absurdo, inducción…), ya apunté que encontrar un contraejemplo podría ser un camino para la demostración de la conjetura “fuerte”.Aunque un argumento que acaso pudiera casi convencer de lo cierto de la conjetura podría hallarse en el hecho de que cuanto mayor es un número par mayor debe ser el número de maneras en las que se pueda expresar como suma de dos números, mayor por tanto debe ser la posibilidad de que haya una forma de escribirlo en la que dos de los números sumados sean primos. Aunque desde luego esto no sea ninguna demostración.

    Un cordial saludo, tomás.

  7. tomás:

    Querido amigo LLuís:
    Cuanto dices es cierto: Cuanto mayor sea el par, más combinaciones de sumas de dos primos serán posibles. Parece lógico que la infinitud de los primos se corresponda con una infinitud de las conjeturas y de los primos gemelos, por mucho que se separen y sean cada vez más infrecuentes, y es que el infinito es muy largo, pero una demostración ha de ser muy ardua.
    Muy excepcionalmente no estoy de acuerdo por esta vez con el final del artículo:
    Las mates y la lógica serían válidos en cualquier galaxia lejana y aun en cualquier universo, porque su validez depende de unas premisas creadas por nuestro intelecto, pero el Higgs o un exoplaneta dependen del contraste con la realidad.

    Un fuerte abrazo.

  8. RicardM:

    Las matemáticas no son mi fuerte (si hay algo que lo sea…). Vaya esto por delante, si lo que voy a preguntar os parece una burrada.

    Cuando se habla de números primos siempre se hace partiendo de un sistema de base 10. Las conjeturas y teoremas sobre números primos ¿Son igualmente válidos en sistemas no decimales? Por ejemplo, en hexadecimal (base 16) tan común en informática.

    Le quedaré muy agradecido a quién quiera responder.

    Saludos cordiales.

  9. NeoFronteras:

    Estimado RicardM:
    Los números, primos o no, son independientes de su representación. De este modo, 5 es primo al igual que lo es 101, que es 5 en binario. Es el mismo número representado de distinta forma. Los números son un ente matemático, pero su representación es cultural.
    Actualmente usamos una representación en base 10 porque tenemos 10 dedos. Hace cientos de millones de años había vertebrados con distintos números de “dedos” que estaban conquistando tierra firme, los había de hasta con 8 “dedos” en cada “mano”. Sólo los de 10 dedos en dos “manos” dejaron descendencia de la cual procedemos nosotros. Por eso usamos base diez. Aunque en Sumeria se usó el sistema sexadecinal y los mayas bidecimal.
    Los cálculos de fuerza bruta para encontrar primos grandes se hacen en binario porque es más fácil y eficiente.

  10. RicardM:

    Apreciado Neo,

    Gracias por una explicación tan clara!

    Recientemente he leido el libro de Oliver Sacks “El hombre que confundió a su esposa con un sombrero” en el que se describe el caso de dos gemelos autistas que eran capaces de decir, de forma alterna y consecutiva, números primos de seis y siete dígitos. Evidentemente, los modernos ordenadores son capaces de encontrar primos mucho mayores, pero la manera en que estas personas podían “ver” (como ellos decían) los números, continua siendo un misterio. Oliver Sacks especula sobre un algoritmo inconsciente. Me pregunto donde podríamos llegar si pudiéramos aplicar este algoritmo a las modernas técnicas de computación, en lugar de emplear métodos de “fuerza bruta”.

    Saludos cordiales.

  11. NeoFronteras:

    Maravilloso libro el de OLiver Sacks, al igual que otros suyos. Sacks aúna Medicina y humanidad de una manera muy bonita y a la vez instructiva. La historia de los gemelos calculistas es muy interesante. Pero Sacks no tenía manera de comprobar en época si los números grandes que se intercambiaban los gemelos al final eran primos o no.
    Tampoco está claro el método “intuitivo” que utilizaban para encontrar esos primos.
    No se conocen métodos eficaces para encontrar primos grandes ni tampoco métodos eficaces que permitan decir si un número grande (impar) es o no primo.

    A los seguidores de Sacks probablemente les guste este maravilloso vídeo:

    http://youtu.be/Abi5q4ll5Vg

  12. RicardM:

    Ciertamente, Oliver Sacks te hace reflexionar sobre las relaciones entre el cerebro y la mente, de una forma amena y emotiva a la vez. El libro mencionado es el primero que leo de este autor, pero no será el último…

    Saludos.

  13. Pari:

    Te devuelvo la viitsa que hiciste a mi blog, y me encuentro con un post sobre TioPetros!Es un placer que te haya gustado la serie sobre la entropeda. Visitare9 a menudo tu sitio, que me parece de sumo intere9s. Las propiedades emergentes en los sistemas complejos me han fascinado siempre y no hay un buen tratamiento del tema a nivel divulgativo en la web, al menos en castellano.Un cordial saludo.

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