ESPECIALES

Se pueden obtener bellos mapas en el plano complejo que representan la densidad de raíces de los polinomios.

Este artículo probablemente vaya a tener poco éxito, porque trata de Matemáticas. Incluso aparecerá alguna fórmula, por lo que la posible audiencia se reducirá considerablemente, como ya advirtieron a Hawking en su día.
Pero, por otro lado, vamos a ver que la belleza estética no está reñida con las Matemáticas, incluso en un tema aparentemente árido como el de los polinomios que se ven en bachillerato. Veremos que hay otros mapas coloreados que también son bonitos además del conjunto de Mandelbrot. Estos mapas tienen que ver con las raíces de los polinomios.
Primero repasemos lo que es un polinomio. Un polinomio es, por ejemplo, esto de aquí:

2x³– 3x²+ x+5=0,

que es un polinomio de tercer grado, porque la máxima potencia de x es 3. Además, es de coeficientes enteros. Es decir, los números que van multiplicando a las equis (2, -3, 1 y 5) son enteros y no fracciones o números irracionales. Vamos a considerar, además, que el último término es equivalente a 5x⁰.
Los polinomios tienen raíces o soluciones. Es decir, valores que introducidos en x cumplen la igualdad. Para el polinomio de primer grado x-1=0, por ejemplo, se ve claramente que la raíz es 1.
No es fácil encontrar las raíces de un polinomio conforme este tiene un grado cada vez más alto. Para grado 2 ó 3, o incluso para cuarto grado, hay fórmulas o recetas que permiten obtener las raíces de manera más o menos sencilla, pero para quinto grado o superior no se ha encontrado fórmula alguna. De hecho, gracias al trabajo del matemático Galois (muerto en un duelo a los 20 años de edad), se puede demostrar que tales fórmulas no existen. La única manera de encontrar las raíces de un polinomio de grado cinco o mayor es usar algún método numérico.
Sabemos, eso sí, el número de raíces que tiene un polinomio. El teorema fundamental del Álgebra dice que tendremos tantas raíces complejas como el grado del polinomio. Pueden ser menos si ignoramos la multiplicidad de las raíces. Es decir, si tomamos las raíces que pueden ser dobles o triples como una única raíz.
Pero, cuidado, las raíces pueden ser complejas y no solamente reales. Tómese, por ejemplo, el caso de

x²+ 1=0.

Es fácil despejar la x, basta con pasar el 1 al otro lado de la igualdad y calcular la raíz cuadrada:

x=± √ -1.

No existe solución en los reales a eso, pero sí existe en los complejos. Como llamamos “i” a √ -1 entonces las raíces del caso anterior son x=±i.
Naturalmente las raíces pueden tener parte real e imaginaria. Así por ejemplo, la ecuación de segundo grado

x²-2x+ 5=0

tiene como raíces complejas x₁=1+2i y x₂=1-2i.
Como ya sabemos, una manera de representar los números complejos es usando el plano complejo. Si consideramos unos ejes coordenados, podemos usar el de abscisas para la parte real y el de ordenadas para la imaginaria. De ese modo 2-3i tendrá las coordenadas (2,-3) en ese plano.
Pero, aunque los coeficientes de un polinomio sean enteros, las raíces no tienen que ser enteras, ni siquiera tienen que tener parte real o imaginaria entera. Ni siquiera tiene que ser racional (un entero partido por otro entero) y puede ser algo como la solución de

x²-4x- 2=0,

que es x=2±√6. Además, también pueden aparecer raíces complejas del tipo x=1+i√2 en otros casos. Es decir, las raíces complejas pueden aparecer en cualquier punto del plano complejo.
Si uno piensa en coeficientes de cualquier tipo y en polinomios de cualquier grado lo sensato es creer que las raíces caen en cualquier punto del plano complejo de una manera azarosa. Pero, ¿y si nos circunscribimos a polinomios de un determinado grado y con coeficientes enteros de hasta cierto valor? Pues bien, en 2009 Dan Christensen (University of Western Ontario) y Sam Derbyshire ( University of Warwick) se pusieron a comprobar este punto (el segundo inspirado por el primero). Vieron que, en ese caso, sólo son posibles ciertos valores y, además, las raíces se agrupan formando agregados o conjuntos en el plano complejo que representados gráficamente poseen cierta belleza. John Baez (University of California, Riverside) se molestó en publicar las imágenes obtenidas en una página web.
Christensen calculó las raíces de polinomios de hasta grado seis y con coeficientes enteros comprendidos entre -4 y 4. Y esos son muchos polinomios, en concreto hay 9×9×9×9×9×9×9=9⁷=4782969 posibles polinomios. Y habrá que multiplicar eso por sus posibles raíces para saber cuántas raíces hay en total.
Derbyshire se circunscribió a polinomios de grado 24 con coeficientes que sólo podían ser 1 ó -1. En este caso hay 2²⁴ polinomios y 24× 2²⁴ raíces.
En los dos casos usaron, obviamente, un método computación para hacer el cálculo.
Vemos que en ambos casos son muchas raíces. Podemos representar con un punto cada una de ellas en el plano complejo, pero es más práctico obtener una imagen de una región del plano complejo y calcular la densidad de raíces que hay por píxel de la imagen. Se puede, por ejemplo asignar el color negro cuando la densidad es nula y rojo, amarillo y blanco conforme la densidad de raíces aumenta. La región puede englobar casi todas las raíces si es amplia e incluye el origen o circunscribirse a una pequeña área de ella para descubrir los detalles.
Los resultados son bellos y nos dicen que las raíces no se distribuyen, ni mucho menos, al azar, sino que hay un orden un tanto fractal. Aquí podemos ver algunas imágenes sacadas de la web de John Baez:

Uno de los resultados de Dan Christensen.

Distribución de casi todas las raíces para el caso considerado por Sam Derbyshire.

Una región del caso anterior.

Uno de los huecos.

Una región un tanto fractal cerca del complejo, en forma polar, 1/2·ei/5.

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