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La ecuación de Schrödinger puede describir los discos de acreción gigantescos que hay alrededor de agujeros negros supermasivos.

Toda la Física e Ingeniería está escrita en el lenguaje de las ecuaciones diferenciales.

Estas describen los ritmos de cambio y relaciones entre las distintas variables que describen un fenómeno. Cuando se habla de un modelo, este no es más que una ecuación diferencial que trata de describir una realidad. Por tanto, la ecuación diferencial del modelo no es más que una buena suposición de cómo funciona dicho sistema físico.

Que se tenga una ecuación diferencial no significa necesariamente que se sepa resolver analíticamente. Resolver significa en este contexto obtener una función que relacione las distintas variables bajo un determinado conjunto de condiciones iniciales y de contorno.

Si se trata de una ecuación diferencial en derivadas ordinarias, se saben resolver (analíticamente) varios tipos, sobre todo las lineales y bastantes de primer orden, pero no las demás. Si se trata de ecuaciones diferenciales en derivadas parciales sólo se sabe resolver unos pocos casos.

Para resolver muchas de las ecuaciones diferenciales se tiene que recurrir a algún sistema numérico que corra en algún programa computacional.
Una de las ecuaciones en derivadas parciales que sí se sabe resolver analíticamente para muchos casos es la ecuación de Schrödinger.

Al igual que otras que sí se saben resolver, esto se debe a que es de tal importancia que, a su debido tiempo, se invirtió mucho esfuerzo en resolverla, al igual que la ecuación del calor o la de la cuerda vibrantes. Además, es lo suficientemente sencilla como para que su resolución no sea un calvario. Aunque, como siempre, para un problema de N-cuerpos no se sabe solucionar.

La ecuación de Schrödinger describe la evolución en el tiempo de un sistema cuántico. Pese a su nombre y a las malas descripciones que circulan por ahí, esta ecuación nada tiene que ver con las existencia de gatos vivo-muertos (superposición de estados y colapso de la función de ondas), pues describe la evolución temporal de un sistema (la función de ondas), no otras cosas.

Ahora, Konstantin Batygin (Caltech) se sorprende en un trabajo realizado por él mismo de que la ecuación de Schrödinger aparezca para describir la dinámica de los discos de acreción, que no son objetos cuánticos, sino estructuras astronómicas.

Hay varios tipos de objetos masivos astrofísicos que están rodeados por un anillo o disco. Puede ser un agujero negro, una estrella o incluso planetas. Esos discos están formados por partículas de distintos tamaños que orbitan alrededor del objeto masivo. Esto significa que las partículas que hay en ellos están sujetas no sólo a la influencia gravitatorias del objeto central, sino a la que hay entre ellas y a otras fuerzas a corta distancia.

Estos discos pueden ser increíblemente grandes en algunos casos, llegando a años luz de radio, y mostrar formas que no se circunscriben a simples discos planos circulares perfectos, sino que, a lo largo de millones de años, sufren distorsiones a gran escala, con dobleces y arrugas. Cómo surgen y se propagan estas distorsiones es un tema de interés astrofísico, por lo que se intenta hacer simulaciones de este tipo de sistemas para comprenderos mejor.

Uno podría pensar que se puede simular este tipo de sistemas sin más que emplear las leyes de Kepler, de Newton y la interacción entre todas las partículas en un modelo de N-cuerpos, pero el que se puedan escribir las ecuaciones no significa que estas se puedan resolver en un tiempo prudencial incluso con las computadoras más potentes. Así que para poder resolver este tipo de sistemas se desarrollan modelos que introducen aproximaciones. Gracias a estas aproximaciones se pueden obtener soluciones en un tiempo prudencial que nos describan la dinámica de estos objetos. Un tipo de aproximación que se suele mucho usar en Física y empleado para este tipo de discos es el suo de métodos perturbativos.

Una manera de modelar estos discos es sustituir el disco de partículas por un disco con muchas circunferencias de material sólido. Cada una de estos hilos en forma de circunferencia representaría a las partículas que haya a un radio dado del centro. Así que un disco de estos se puede aproximar una serie de hilos masivos circulares concéntricos en vibración. Estos hilos masivos interactúan unos con otros a través de la gravedad y pueden intercambiar momento angular entre ellos. Al parecer, este modelo aproximado funciona bastante bien y describe la realidad física y su evolución para millones de años con bastante precisión. Ha sido usado en el pasado en muchas ocasiones.

Batygin, en su búsqueda de una mejor descripción, lleva este modelo al extremo: una situación en la que hay una infinita cantidad de hilos concéntricos de tal modo que el sistema es llevado al continuo. Pues, bien, justo en este caso le aparece la ecuación de Schrödinger.

Una variante no lineal de esta ecuación también se usa para describir sistemas clásicos (no cuánticos) como sistemas ópticos o las olas del mar. Pero, hasta ahora, no había aparecido el uso de la ecuación de la ecuación de Schrödinger tradicional para describir un sistema clásico.

El trabajo de este investigador sugiere que los grandes discos astrofísicos se comportan de manera similar a las partículas subatómicas y que la propagación de sus distorsiones pueden ser descritas por las mismas matemáticas que una partícula cuántica cuya función de ondas viene y va entre el borde exterior e interior del disco. Podemos decir que la forma del disco es como la función de ondas de una partícula cuántica y que resuena dentro una cavidad creada por los bordes de un disco, que son los que definen las condiciones de contorno.

Gracias a este modelo, Batygin deduce las condiciones bajo las cuales el disco se comporta como un sólido o presenta distorsiones que son el resultado de una serie de modos de vibración.

Si el momento angular de los objetos del disco es transferido de uno a otro mucho más rápidamente que la duración de las perturbaciones, entonces el disco permanece rígido. Si, por otro lado, la escala de tiempo se auto-interacción es grande comparada con el la escala temporal de la perturbación, el disco se distorsiona.

Batygin se muestra intrigado por esta conexión entre los mundos cuántico y astrofísico que, en principio, no están relacionados y que, sin embargo, están gobernados por matemáticas similares.

Pero no debemos perder la perspectiva. Los discos de acreción astrofísicos no son objetos cuánticos. Para sistemas con suficiente complejidad es normal que las matemáticas implicadas den lugar a ecuaciones que ya se conocen, como la de Schrödinger, que, dicho sea de paso, es relativamente sencilla. Ni siquiera la ecuación de Schrödinger depende de la «cuanticidad», sino que puede obtenerse de la física conocida desde el siglo XVIII.

No es la primera vez que sucede algo similar. Así, por ejemplo, las ecuaciones que describen cierto tipo de reacciones químicas también modelan el crimen en las calles. Otro caso es la descripción matemática de sistemas magnéticos, que puede usarse también para describir las fructificaciones en campos de árboles de pistachos, tal y como vimos recientemente en estas mismas páginas.

Como el mismo Batygin dice, en cierto sentido, las ondas que representan las distorsiones del disco no son tan diferentes de las ondas en una cuerda vibrante, que, a su vez, no es muy diferente del movimiento de una partícula cuántica dentro de una caja (un pozo de potencial). «Parece que no es una conexión obvia, pero es excitante descubrir la espina dorsal detrás de esta reciprocidad», añade.

La gran ventaja es que la ecuación de Schrödinger ha sido profusamente estudiada desde los años veinte del pasado siglo, así que puede ser muy útil para el estudio de los objetos astrofísicos que posean disco de partículas. Esto hace que la aplicación de esta idea sea ideal, sobre todo, para los objetos astrofísicos con un cuerpo central muy masivo rodeado por un disco, como el de los agujeros negros supermasivos o discos protoplanetarios, pero no para discos galácticos. La aproximación falla cuando el objeto central no tiene una masa mucho mayor que la del disco. En estos casos hay que irse a simulaciones de N-cuerpos, que son computacionalmente mucho más costosas.

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Fuentes y referencias:
Artículo original.
Copia en ArXiV.
Ilustración: James Tuttle Keane, California Institute of Technology.