NeoFronteras

Diez billones de decimales de π

Área: Matemáticas — Lunes, 24 de Octubre de 2011

Consiguen calcular 10 billones de decimales de π con una computadora casera construida para la tarea.

Foto
Computador usado para el cálculo.

Cuando al neozelandes Edmud Hillary, montañero y criador de abajes, se le preguntó por qué había escalado el Everest dijo que porque estaba ahí. Y es que la conquista de la cima más alta de la Tierra en 1953, realizada por él y un sherpa del que parece que nadie quiere acordarse, no tuvo una razón objetiva. A veces el ser humano simplemente ve un reto y quiere superarlo.
Calcular 10 billones de decimales de π no tiene ninguna utilidad práctica y no reportará nada nuevo a la humanidad. Con sólo 39 decimales es posible calcular la longitud de la circunferencia del Universo visible con un error no mucho mayor que el tamaño de un átomo de hidrógeno, así que semejante despropósito parece innecesario, pero el sólo hecho de conseguirlo es algo que hasta hace no tantos años era inimaginable. Si además esta hazaña se ha hecho con pocos recursos el logro parece aún más interesante.
Shigeru Kondo y el estudiante de doctorado Alexander Yee han conseguido, con la ayuda de Northwestern University, calcular todas esas cifras de π con un PC casero construido ex proceso para tal fin. El año pasado ya habían conseguido calcular 5 billones de esas cifras decimales. Es el mismo programa y la misma máquina usada entonces lo que les ha permitido alcanzar esta nueva marca. Aunque científicamente no es un resultado importante, al menos el logro les servirá para entrar en le libro Guinness de los records.
Como 10 billones de cifras decimales y toda la información que genera su cálculo no caben en cualquier sitio, tuvieron que usar 48 Terabytes en discos duros. Tanto uso de esta máquina trabajando sin parar 24 horas al día y 7 días a la semana durante meses subió la temperatura de la habitación hasta los 40 grados y la factura de la luz se elevó a 30.000 yenes mensuales. Por si fuera poco, el terremoto ocurrido en Japón puso todo el proyecto en dificultades en varias ocasiones. Ya el año pasado, un fallo en un disco duro les obligó a empezar otra vez desde cero, pues se produjo justo antes de la realización de la copia de respaldo programada.
La relación entre el diámetro y la longitud de la circunferencia siempre ha fascinado a los amantes de las Matemáticas y ha inspirado pasajes en novelas de ciencia ficción. Aprovechemos la ocasión para decir que π es un número irracional, esto es, que no se puede expresarse como el resultado de dividir un número por otro. Tiene infinitos decimales que no pueden ser predichos a no ser que sean calculados. Son también irracionales el número e o la raíz cuadrada de 2.
Fue toda una sorpresa para los pitagóricos de la Grecia Clásica el descubrieron de los irracionales y les pareció tanta herejía que mantuvieron la demostración de la irracionalidad de la raíz de 2 en secreto.
Durante siglos se desarrollaron sistemas para el cálculo de los decimales de π. Como anécdota se puede mencionar al matemático inglés William Shanks, que se pasó 20 años calculando decimales de π a base de lápiz y papel y que sólo llegó hasta el decimal 707. Pero de esos decimales sólo eran correctos 527. El error no se descubrió hasta 63 años más tarde, en el año 1945.
Sólo cuando se tuvieron computadores electrónicos se avanzó realmente en este “campo” de cálculo de los decimales de π.
Citemos por curiosidad que el decimal 10 billones de pi es 5. El año pasado un investigador de Yahoo ya había calculado el decimal número 2 trillones (sin todos los que le anteceden) de π, que es 0.
Este tipo de resultados nos dicen que la Matemática Experimental puede tener mucha potencia. Demostrar ciertos enunciados es muy difícil en las Matemáticas tradicionales, así que la Matemática Experimental, aunque no pueda demostrar que una conjetura es verdadera, sí puede dar pistas sobre su validez. De entrada, si encuentra un contraejemplo siempre demostrará la falsedad de un enunciado.
Un caso lo tenemos en la conjetura de Giuga que dice que un entero es primo si cumple ciertas propiedades. Aunque esta conjetura data de los cincuenta nadie ha conseguido demostrarla. Pero gracias al uso de un computador se pudo demostrar que un número que sea excepción a la conjetura tenía que tener más de 3678 factores primos y 17000 dígitos. No es nada comparado con la infinidad de elementos del conjunto de los naturales, pero algo es algo.
En 1989 Roger Penrose, en su libro “La nueva mente del emperador” comentaba las limitaciones al conocimiento humano y como ejemplo conjeturaba que nunca sabríamos si hay una cadena de 10 sietes consecutivos en los decimales de π. Ocho años más tarde Yasumasa Kanada encontró precisamente una cadena como esa a partir del decimal 22869046249. Y es que las computadoras se han hecho muchos más potentes de lo que la mente privilegiada de Penrose sospecho en su momento.
Carl Sagan, en un final imperdonable para su novela “Contact”, describe la tarea final de su protagonista Ellie. Ésta consiste en trabajar con un sistema computacional para encontrar patrones ocultos en los decimales del número pi. Ellie encuentra, en la representación en base 11, una secuencia especial en la que los decimales de π dejan de variar de forma aleatoria y comienza a aparecer un patrón determinado.
Aunque este cálculo de Kondo y Yee es anecdótico, el simple hecho de conseguirlo tiene valor en sí mismo y permite recordar los tiempos en los que los mapas tenían continentes con enormes extensiones en blanco. En lugar de África se trata del continente π cuya extensión “en blanco” es infinita e impredecible, al menos hasta el momento.

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Fuentes y referencias:
Web number world.
Nota de prensa.

Salvo que se exprese lo contrario esta obra está bajo una licencia Creative Commons.
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17 Comentarios

  1. joabbl:

    Recuerdo que hace ya años me descargué de internet un programa que hacía eso precisamente:le indicabas un numero y te creaba un fichero de texto con ese numero de decimales de pi. No llegué tan lejos,claro, pero me pareció muy curioso. Y además era un programa minimo aunque según decian podia calcular millones y millones de decimales.
    Saludos

  2. lluís:

    Me pregunto que trascendencia física podría tener el hecho de encontrar un patrón determinado para pi (en lugar de aleatoriedad en sus decimales).
    Saludos.

  3. joabbl:

    Buena pregunta. Imagino que la combinacion premiada en la bonoloto esta semana (y que tampoco he acertado) està en algún lugar de pi… A buenas horas.
    saludos

  4. NeoFronteras:

    Sagan dio un significado metafísico a esos posibles patrones. Algo sorprendente en alguien ateo.
    No se puede extraer significado físico de un posible patrón en los decimales de π. A todo lo más un significado matemático.
    Esencialmente puede aparecer cualquier secuencia de números, al igual que en otros irracionales.
    Cabría pensar que en algún momento está codificada numéricamente cualquier novela o guion cinematográfico. ¿Es aquí el infinito lo suficientemente potentes? Los decimales de π no son aleatorios, pues se puede predecir cualquiera de ellos si se conocen los anteriores. Están totalmente predeterminados. Aunque estadísticamente se parezcan a un decente generador de números pseudoaleatorios, los hay mucho mejores.
    Hay por ahí un resultado de la teoría de la información que liga la aleatoriedad con el número de bits del algoritmo usado o algo así.

  5. tomás:

    Cuando, hace ya muchos años, daba clase a mi hija menor, hablándole sobre la universalidad y curiosidades del número pi, me preguntó si, dado que posee de un número infinito de decimales, -como dice Neo, psedoaleatorios-, sería posible que una secuencia cualquiera se repitiese, incluso infinitas veces. Le respondí que no, que hasta es muy posible que una determinada secuencia fuese imposible que se presentase ni una sola vez. Pensé por ejemplo en algo así como 01010101…. durante cien caracteres, pero creo que esta afirmación mía debe ser cierta incluso combinaciones mucho menores. Por supuesto que cuanto mayor sea el número de cifras, más difícil será que se repitan, aunque se trate de una dificultad carente de toda regularidad.
    Bueno, es un decir.
    Saludos.

  6. Miguel Angel:

    Estimado Neo:

    Sorprendido por la referencia a Sagan y su metafísica (no se si llegó a meterse tan a fondo como Max Planck).

    Una matización: Sagan era agnóstico. De hecho el propio Sagan se definía como agnóstico y no como ateo.

    Carl Sagan no creía en un Dios como el que aparece en la Biblia, pero consideraba posible un Dios tipo Espinoza.

    Saludos y abrazos.

  7. Nemo:

    Repasaré el libro, pero me extrañaría muchísimo que Penrose haya escrito que “nunca sabríamos si hay una cadena de 10 sietes consecutivos en los decimales de π”, pues es obvio que si se la encuentra lo sabremos. En ese libro se trata, entre otros temas, de los procesos computacionales sin final predecible (que lo tengan o no) en un número finito de operaciones. Bien pudo haber dicho que -si no la hay- nunca sabremos que no hay una cadena de 10 sietes consecutivos en los decimales de π. O que nunca sabríamos si hay una cadena de 10 sietes consecutivos en los decimales de π antes de obtenerla directamente.

  8. Gerardo:

    Una pregunta: la irracionalidad de pi, o de cualquier otro numero irracional, esta demostrada matematicamente? es posible demostrar que un número irracional jamas tendra un final o en algun punto se volverá ciclico?

    La busqueda del final de pi esta matematicamente condenada al fracaso o es posible que pi pueda tener una sorpresita en el digito 10 billones 1.

  9. NeoFronteras:

    Se puede demostrar la irracionalidad de un número. Pero ser irracional significa que no se puede expresar como fracción de dos números enteros. Por otro lado, los decimales de un racional puede que no tengan fin, como por ejemplo 1/3. Hay racionales cuyos decimales son periódicos y es fácil predecir qué viene después.
    Sobre lo que pase en la cifra 3 quinquillones de π, pues bueno nadie lo sabe aún.

  10. tomás:

    Estimado Gerardo:
    Aunque te ha contestado Neo, por tus preguntas, creo que puedo aportar algo.
    Es mi opinión que resulta preciso demostrar la irracionalidad de cada número individualmente. Por ejemplo raíz de 2 tendrá una demostración y pi tendrá otra. Posiblemente sea fácil seguir el mismo camino para las de un grupo -raíces-, aunque haya que seguir otra ruta para otros números; tipo “e” por ejemplo.
    Un irracional no puede tener final. Se me ocurre una sencilla demostración. Imaginemos que tiene un final. Entonces podríamos tomarlo como si fuese un decimal periódico cuyo periodo fuese cero: infinitos ceros, como cualquier decimal. Sea que pi= 3’141592O…. y ya todo ceros puesto que pi se ha acabado en el 2 y el cero es el periodo. Si recuerdas aquella cantinela del 1º de bachiller de mis tiempos -quizá no de los tuyos- que decía “un número periódico puede representarse como fracción… numerador = la parte entera seguida del anteperiodo y del periodo (sería 31415920) menos la parte entera seguida del anteperiodo (es decir 3141592), partido por tantos 9 como cifras tenga el periodo (sólo uno) y tantos ceros como cifras tenga el anteperiodo (tiene 6 en el ejemplo)”. Resulta (31415920-3141592)/9000000 = 3’141592 exactamente. Pero esto indicaría que se trata de un número racional. Conclusión: un número irracional no puede tener fin, porque si lo tiene puede representarse como una fracción y entonces ya no es irracional.
    El ejemplo podría hacerse de una forma menos pedestre, pero tendría que emplear algo más de tiempo. También de otra forma más sofisticada; por otro camino, pero así, de pronto, las que se me ocurren son más complicadas, así que lo dejo aquí y espero que te sirva.
    Respecto a si puede tener una “sorpresita”, no sé a qué te refieres, pero vamos a eliminar algunas. Si te refieres a que se acabe ya te he demostrado que no. Si te refieres a que inicie un periodo tampoco, porque estaríamos en un caso paralelo al que te he explicado. Y tampoco puede aparecer un número ajeno a los diez conocidos, así que ya me dirás.
    Bueno, con la intención de haberte sido útil y que me excuses por mi rusticidad matemática, te envío un cordial saludo.

  11. Luis91:

    Hola a todos.
    El número ‘pi’ también aparece como resultado de algunas sumas infinitas. Una de las más conocidas es el Problema de Basilea:
    (1/1^2)+(1/2^2)+…+(1/n^2)= (pi^2)/6

    Es, en mi opinión, la mejor forma de ver que ‘pi’ es un número irracional no aleatorio.
    Pero iré a donde quiero llegar: ¿por qué vuelve a aparecer ‘pi’? Bueno, quizás sea porque Euler (autor de la respuesta) utilizó métodos geométricos para resolver este problema (integrales y series de Taylor). ¿O es posible que el número ‘pi’ represente algo más? Eso no lo sabemos, pero a mí no me cabe duda que es demasiado poco aleatorio.
    Saludos cordiales.

  12. tomás:

    Bueno, como Luis91 se pregunta, quizás, por la intimidad de pi, voy a atreverme a copiar aquí los versos de mi poemario sobre números que tratan sobre este. Me resistía, pero…
    Pi
    Dolido estoy, maestro,
    que con cierta dureza me has mirado.
    ¿Acaso no comprendes
    que me estoy despertando,
    que me llegan aromas que me embriagan,
    que me asaltan impulsos que no entiendo?
    Porque, en aquel momento,
    mientras tú lo explicabas,
    yo estaba en otro mundo,
    recordando
    mi ayer, mi primer beso,
    recordando
    una tierna mirada;
    y había en mis oídos
    una dulce sonata
    con fondo de palabras
    breves y entrecortadas.
    Aun así pude oírlo:
    nos decías
    que la Luna,
    que el Sol y que la Tierra,
    que la órbita del astro,
    que la sección del árbol
    y el chorro de la fuente,
    la rueda de la noria,
    y las gotas de agua,
    las galaxias
    y todo el Universo
    tienen pi como alma.

    Y que nunca se acaba…

  13. NeoFronteras:

    “Caí y miré a Laura enamorado, su cuerpo débil era ahora perfecto. Asombrado, respiré tranquilo, era lo que esperaba amar”.

    Por José María Caballero

    Ahí va su transcripción numérica:

    3,1415926535897932384

  14. tomás:

    Mi admiración por J. M. Caballero, Me recuerda la “Sonata de otoño”, de Valle Inclán. Muy bello.

  15. Miguel Angel:

    Un susurro en el viento me confirma que esta casa es mucho mas que una página de Ciencia…

    ¡Muchas gracias!

  16. Luis91:

    Estimado tomás:
    La curiosidad suele juegar malas pasadas. Ella nos lleva a querer darle significado a todo lo que vemos: ¿por qué cae la manzana?, ¿qué son esos puntitos blancos en el cielo nocturno?, ¿Se moverán ellos o me moveré yo?, ¿de donde venimos?
    Desde el comienzo hemos sido un ser preguntón, a todo queremos dar respuesta. Pero la realidad, bien expuesta por vos, es que los problemas difíciles se resuelven con versos y no con ecuaciones.
    Saludos.

  17. tomás:

    Estimado Luis91:
    Creo que aquello que pueden resolver los versos es más bien el deseo de quien los lee en cuanto a encontrar en ellos su propia respuesta, la que daría él. Son algo para la sensación, como la música.
    Pero el instrumento para investigar de forma objetiva -o lo más objetivamente posible- la realidad es, indudablemente, la ciencia, con todas sus inseguridades, como debe ser.
    Mi más cordial saludo.

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